T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

4.3. Teylor formulasi yordamida ekstremumga tekshirish
8.24-teorema. 
Aytaylik,/(*,> funksiya xo nuqtaning biror (Xff-S;x0+S) atrofida 
J   (*)> /   (x)> •••.  f in>(x) (n>2) uzluksiz hosilalarga ega va
f  
(xo) 
=   j  
( x q )  
=...=  f {n~[)(x0) 
=0, 
f {n  (x0)^O bo'lsin.
U holda
1) Agar n juft va  J w (x0)< 0 bo'lsa,  funksiya x0 nuqtada lokal  maksimumga 
ega bo'ladi;
2) Agar и juft va f [n> (x0)>0 bo'lsa, funksiya xo nuqtada lokal minimumga ega 
bo'ladi;
3) Agar n toq bo'lsa, funksiya 
xq
 nuqtada ekstremumga ega bo'lmaydi.
Isbot. 
0  f(x)  funksiya  uchun  Lagranj  ko'rinishidagi  qoldiq  hadli  Teylor
formulasini yozamiz:
f(x)=f(x0)  +  /  (xo)(x-xo)  + 
f
 
(X0)(X-X
0
) 2 + ...
+ 
- — - - 7
 f"~l)(хо)(х-х0) п'1 +  —— (bJ-(x-x0) n,  bu yerda 4^(xax).
(n  — 1)! 
n!
Teorema shartiga ko'ra  f  (x0)=   f ” (x0)= ...=  f ”~l)(xo)=0,  shu sababli
f(x) =f(xq) +  L — (± 2(x -x0)n.  yoki 
n!
f(xH ( xo) = 
(x - x 0) n 
(
1
)
n!
tenglik  o'rinli  bo'ladi.  Yana  teorema  shartiga  ko'ra  f {n> (x)  funksiya  x0  nuqtada 
uzluksiz. Shuning uchun uzluksiz funksiyaning lokal xossalariga ko‘ra xo nuqtaning 
shunday (xo-S,x0+&) atrofi topilib, bunda  / 1л) (x) funksiyaning ishorasi  f tn] 
( x q )
 
ning
ishorasi bilan bir hil bo'ladi. Aytaylik, xe (xo-S,xo+5) bo'lsin. U holda 
(xo-S,xo+S) 
bo'lishi ravshan. Endi quyidagi ikki holni qaraymiz.
1-hol. 
Aytaylik, n toq son bo'lsin. U holda (xo-S,xo+S) atrofda (1) tenglikning 
o'ng tomonidagi  J <я  (ф  ko‘paytuvchining ishorasi / (я) 
(
xq
)  
ning ishorasi bilan bir hil
202

---

boMadi, ikkinchi ko‘paytuvchi esax>Xo da(x-x0)'1 >0, x da (x-xo)n<0 boMadi, ya’ni 
(лг-jco)”  ifoda x0 nuqta  atrofida  ishorasini  o‘zgartiradi.  Bundan  esa (1)  tenglikning 
chap  tomoni,  ya’ni f(x)-f(x0)  ayirma ham x0 nuqta atrofida  ishorasini  o‘zgartirishi 
kelib chiqadi.
Shunday qilib, n toq son boMganda f(x) funksiya xo nuqtada ekstremumga ega 
boMmaydi.
2-hol.  Endi n juft son boMsin. U holda (1) tenglikning o‘ng tomoni ishorasini 
o‘zgartirmaydi,  uning ishorasi  /'" * (
xq
)  ning  ishorasi  bilan  bir hil  boMadi.  Bundan 
agar  /  (
xq
)<0  boMsa,  u  holda f(x)-f(xo)<0,  ya’ni f(x)  demak,  funksiya xo 
nuqtada maksimumga ega boMadi.  Agarda  f  ^ (xo)>0  boMsa,  u  holda f(x)-f(xo)>0, 
ya’ni f(x)>f(xp),  demak, funksiya xo nuqtada minimumga ega boMadi. ♦
8.25-misol. Ushbu y=xs-5x4-5 funksiyaning ekstremumlari topilsin.
Yechish.  Funksiyaning  kritik  nuqtalarini  topamiz.  Uning  uchun  funksiya 
hosilasini topamiz: у ’=5x4-20x3. Kritik nuqtalar faqat statsionar nuqtalardan iborat, 
shuning uchun 5x4-20x3=0 tenglamani yechamiz. Uning ildizlari x/=0, xf=4 boMadi.
Ikkinchi tartibli hosilani topamiz:  f "  (x)=20x3-60x2.
f  (4)>0  boMgani  uchun,  x=4  nuqtada  funksiya  minimum  qiymat  qabul 
qiladi: f(4)=-261. 
(0)=0 boMgani  uchun  uchinchi  tartibli hosilani  hisoblaymiz: 
^=60дг7-120д:,  f "  (0)=0, to‘rtinchi tartibli hosilani hisoblaymiz:  f (i)(x)=\20x- 
120,  f A>(0y=-\20<0  va n=4 juft  boMgani  uchun  3-teoremaga  ko‘ra jc=0  nuqtada 
funksiya maksimumga ega:/(0)=-5.