T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

8
.
22
-qoida. 
f(x) funksiyaning ekstremumga tekshirish uchun
1) f'(x )=0 tenglamaning barcha yechimlarini topamiz;
200

---

2)  har bir statsionar nuqtada 
f
  ( x q )
 
ning  ishorasini  aniqlaymiz.  Agar 
f *
(
xq
}<0 bo‘lsa, xo maksimum nuqtasi,  f  (xo)>0 bo‘lsa, xo minimum nuqtasi bo‘ladi.
3)  ekstremum  nuqtalar  qiymatini  y=--f(x)  qo‘yib,  f(x)  ning  ekstremum 
qiymatlarini topamiz.
Umuman aytganda, bu qoidaning qo‘llanish doirasi torroq masalan, u birinchi 
tartibli chekli hosila mavjud bo‘lmagan nuqtalarga qo‘llanila olmasligi o‘z-o‘zidan 
ravshan. Ikkinchi tartibli hosila nolga aylangan yoki mavj ud bo‘lmagan nuqtada ham 
qoida aniq natija bermaydi.
8.23-misoI.  Ikkinchi  tartibli 
hosila  yordamida  y=2sinx+cos2x 
funksiya ekstremumlarini aniqlang.
Yechish.  Funksiya  davriy 
boMganligi  sababli  [0;2я]  kesma 
bilan 
cheklanishimiz 
mumkin.
Funksiyaning  birinchi  va  ikkinchi 
tartibli hosilalarini topamiz:
у - 2cosx-2sin2x =2cosx(I - 
2sinx) , у ’ ’= -2sinx-4cos2x.
45-rasm
Ushbu 2cosx(l-2sinx)=0 tenglamadan  funksiyaning  [0;2л]  kesmaga tegishli 
bo‘lgan kritik nuqtalarini topamiz: xi =7i6; X2-7t/2; 
Х з = 5 л 6 ;  
X4=5tc/2.  Endi har bir 
kritik  nuqtada  ikkinchi  tartibli  hosila  ishorasini  aniqlaymiz  va  tegishli  xulosa 
chiqaramiz:
y"(7t/6)=-3<0, demak xi=n/6 nuqtadaу(ти6)=Ъ!2 maksimum mavjud. 
y"(7t/2)=2X), demak 
x ^ k / I
 
nuqtada у(л/2)=1  minimum mavjud. 
у ' уЗ^б^—ЗсО, demak х3=5л!в nuqtadaу(5т1б)=-Ъ12 maksimum mavjud. 
y "(3n/2)= 6>0, demak Х4=3я/.2 nuqtada у(3л'2) =-3 minimum mavjud.
Bu funksiyaning (-2я;2тг) intervaldagi grafigi 45-rasmda keltirilgan.
201

---