T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

Isbot. 
0 f  dF(x)  -  f  F '(x)dx  = F(x) + C. ♦
9.8-xossa.
  Agar / ( * )   ning boshlang‘ich  funksiyasi  mavjud  bo'lsa,  u  holda 
ixtiyoriy к (к  Ф  0) son uchun
\kf(x)dx=k\f(x)dx 
(1)
boMadi, ya’ni o‘zgarmas ko‘paytuvchini integral belgisi oldiga chiqarish mumkin.
Isbot. 
0 \f(x)dx=F(x)+C boisin. U holda
k\f(x)dx=k(F(x)+C)=kF(x)+kC 
(2)
boiadi.  (kF(x))’ =kF'(x)=kf(x)  va  kC  ixtiyoriy  o'zgarmas  son  boiganligi  uchun 
kF(x)+kC ifoda kf(x) funksiyaning barcha boshlangMch funksiyalarini beradi, ya'ni 
\kf(x)dx= kF(x)+kC 
(3)
bo‘ladi.  (2) va (3) dan (1) kelib chiqadi. ♦
9.9-izoh.
  k= 0  boMganda  (1)  tenglik  o‘rinli  emas.  Haqiqatan  ham,  bu 
tenglikning chap tomoni \0f(x)dx=\0dx=C, С -ixtiyoriy o‘zgarmas son, o‘ng tomoni 
esa 0{f(x)dx=0-(F(x)+C)=0.
9.10-izoh.
  Integrallami  topishda kC yozilmaydi.  Uning o‘miga  С yoziladi, 
chunki  ixtiyoriy  o‘zgarmas  sonni  yozish  usuli  muhim  emas.  Bunda  o‘zgarmas 
qo‘shiluvchining ixtiyoriy qiymat qabul qila olishi muhim hisoblanadi.
Agar C-ixtiyoriy o‘zgarmas son boMsa,  u holda C3, 4С  - ixtiyoriy o‘zgarmas 
son boMadi. Lekin C2, sinC - ixtiyoriy o‘zgarmas son emas, chunki C^O , |sinCl9.11-xossa.
 Agarffx) \ag(x) lammg boshlangMch funksiyalari mavjud boMsa, 
u holda / ( / ( * )  ± g(x ))dx   = /  f(x )d x  ± /  g(x)dx boMadi, ya’ni  ikkita funksiya 
algebraik yigMndisining integrali aniqmas integrallar algebraik yigMndisiga teng.
Isbot. 
0  Aytaylik,  F(x)  va  G(x)  lar  mos  ravishda f(.x)  va  g(x)  laming 
boshlangMch funksiyalari boMsin. U holda /  f(x )d x  ± /  g(x)dx  =  (F(x) + Ct ) ± 
(C(x)