T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

fix )
  =
sin -, 
agar x Ф
 0 
bo'lsa, 
.  1, 
agar  x
 = 0 
bo'lsa
funksiyani 
uzluksizlikka
tekshiring.
—x -
 3, 
agar
 x < -2 bo'lsa, 
x2 -
 4, 
agar
 x > —2 bo'lsa
a) 
fix)
  — 
agar
 — 2  < 
x < 2 bo'lsa,
2,  agar  x > 2 bo'lsa.
2, 
agar x < —2  bo'lsa,
102

---

4-15. 
f(x
) funksiyani 
x0
 nuqtada uzluksizlikka tekshiring:
2
) fix )
  = 
a r c t g ^ ,x 0
  =  1; 
б) Д х )  = 
x0
 = 3
4-16.  Uzluksiz  funksiyaning  xossalaridan  foydalanib,  /(x)  funksiyaning 
( —oo:  +  oo) 
oraliqda uzluksiz ekanligini isbotlang:
a) 
fix )
  = 4x5 -  ^
 + 2. 
b) 
fix ) = Sx
 +
c) 
f ( x) — sinSx — еЪх~г.
 
d)/(x) = 
Vx — 2 + cos2 4x.
4-17. 
fix) = л/х
  funksiyaning 
x0 >
 0  nuqtada  uzluksiz, 
x0
  = 0  nuqtada 
o'ngdan uzluksiz ekanligini isbotlang.
4-18  Agar 
fix )
  funksiya 
x0
  nuqtada uzluksiz, 
gix)
  funksiya 
x0
  nuqtada 
uzlilishga  ega  bo'lsa,  u  holda 
fix ) + gix)
  funksiya 
x0
  nuqtada  uzlilishga  ega 
boiadi.  Isbotlang.
4-19. 
x0
  nuqtada  uzilishga ega bo'lgan  shunday 
fix),  gix)
  funksiyalarga 
misol keltirinki,  1) ulaming yig'indisi 
x0
 nuqtada uzilishga ega bo'lsin; 2) ulaming 
yig'indisi x0 nuqtada uzluksiz bo'lsin.
4-20. 
x0
  nuqtada  uzluksiz 
fix),
  uzilishga  ega  bo'lgan 
gix)
  funksiyalarga 
misol  keltirinki,  1)  ulaming  ko'paytmasi  x0  nuqtada  uzilishga  ega  bo'lsin;  2) 
ulaming ko'paytmasi x0 nuqtada uzluksiz bo'lsin.
4-21.  Agar 
fix )
  uzluksiz  funksiya  bo'lsa,  u  holda 
fi\x\)
  va  |/(x)| 
funksiyalar ham uzluksiz bo'ladi. Isbotlang.
4-22. 
fix )
 funksiya 
X
 oraliqda uzluksiz bo'lsa, u holda 
яч 
f
 
rv4
  _  (Я *), 
agar  fix )
  > 0,
am W -  (  0 
agar  fix ) <
 o.
b)  /_(*)  = |  ^  
^agar^fix) <
 0 funksiyalar  ham 
X
  oraliqda  uzluksiz 
bo'ladi. Isbotlang.
4-23.  Dirixle  funksiyasining  har  bir  nuqtada  uzilishga  ega  ekanligini 
isbotlang.
103

---

(
0, 
agar х irratsional bo'lsa,
1 
p 
c  7 
.  
bu  yerda 
-
agar x =~,   p e Z ,   q E N  
y 
q
qisqarmaydigan  kasr,  boMsin  (bu  funksiya  Riman  funksiyasi  deyiladi).  Isbotlang. 
fix )
 funksiya a) har bir irratsional nuqtada uzluksiz;  b) har bir ratsional nuqtada 
birinchi tur uzilish nuqtasiga ega.
3-§. Kesmada uzluksiz boMgan funksiyalaming xossalari
Biz quyida, asosan 
[a,b] segmentda uzluksiz bo Igan funksiyalami
, ya'ni 
(a;b) 
intervalda uzluksiz, 
a
 nuqtada o‘ngdan va 
b
 nuqtada chapdan uzluksiz funksiyalami 
qaraymiz.
4.23-teorema (Veyershtrassning birinchi teoremasi). Agar>^(x) funksiya 
[a,b]
  segmentda  aniqlangan  va  uzluksiz  boMsa,  u  holda  funksiya  shu  segmentda 
chegaralangan boMadi.
Isbot. 0 Isbotni teskaridan faraz qilish usuli bilan olib boramiz.
Faraz  qilaylik, 
J[x)
  funksiya  yuqoridan  chegaralanmagan  boMsin.  Ya’ni, 
qanday natural 
n
 son olmaylik, shunday 
хне
 [a;b] nuqta topilib, 
j{x„)>n
  boMadi.
Shu shart bilan 
[a,b]
 segmentdan olingan jci, 
x2, хз,. .  xn,. . .
 ketma-ketlikni 
qaraylik.  Bu  ketma-ketlik  chegaralangan  bo‘lgani  uchun,  Bolsano-Veyershtrass 
lemmasiga ko‘ra undan yaqinlashuvchi  {x„k}  ketma-ketlik ajratib olish mumkin: 
хпк-ух0e[a;b].
Teorema  shartiga  ko‘ra 
j(x)
  funksiya 
x0
  nuqtada  uzluksiz.  Shuning  uchun 
f  ixnk)~+f ixo)
  boMadi.  Ikkinchi tomondan,  bu ketma-ketlikning qurilishiga ko‘ra