T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

a& X
nuqtada uzluksiz bo'lsin. U holda
1) 
Cl
 
nuqtaning  (a — 
S, a
 + 5), 
6 >
 0  atrofi  mavjud  bo'lib,  bunda 
f(x
) 
funksiya chegaralangan bo'ladi;
2) agar/(a) > 0,/( a )   < 0 bo'lsa, 
Cl
 
nuqtaning (a — 
6, a
 + 5), <5 > 0 atrofi 
mavjud bo'lib, bu atrofdan olingan ixtiyoriy 
X
  uchun /(x ) > 0,/(x ) < 0 bo'ladi.
3) У = /(* ) + 
g(x)
  va 
у = f(x) — g(x)
  funksiyalar 
Cl
 
nuqtada  uzluksiz 
bo'ladi;
4) 
у
 = 
f(x)
 ■
 
g(x)
 funksiya 
a
 nuqtada uzluksiz bo'ladi;
5)  agar 
у = g(_x)
  funksiya 
a
  nuqtada  nolga  teng  bo'lmasa,  u  holda 
у
 = 
f(x)/g(x
) funksiya 
a
 nuqtada uzluksiz bo'ladi.
Isbot. (4-5-masala)
4.5-teorema.  Agar/(x) funksiya  x
0
 nuqtada uzluksiz, 
g(u
) funksiya u
0
 = 
f(x0)
  nuqtada  uzluksiz  bo'lsa,  u  holda 
g(f(x))
  funksiya  x
0
  nuqtada  uzluksiz 
bo'ladi, ya'ni  lim g(/(*)) = g(lim /(x)) = g (/(x0)).
Isbot. (4-7-masala)
4.6-misol. 
y = yjx2
 + 
1
  funksiyani  x = 0  nuqtada uzluksizlikka tekshiring. 
Yechish. 
y = \lx2
 +1  funksiyani 
u - x 1 +
1, 
y = ^Ju
  funksiyalardan tuzilgan
murakkab  funksiya  deb  qaraymiz. 
U
 = 
X 
+1  funksiya 
x =
 0  nuqtada, 
у
 = 
'Jti 
funksiya 
и =
 1 
nuqtada  uzluksiz.  Demak  murakkab  funksiyaning  uzluksizligi 
haqidagi teoremaga ko'ra  v = 
y/x2
 
+1
  funksiyani 
x
 = 
0
  nuqtada uzluksiz bo'ladi.
4.7-ta’rif.  Aytaylik  /(x )  funksiya X  oraliqda aniqlangan va  ore A'bo'lsin. 
Agar 
f(a  +
 0)=  lim /(x ) = 
f{a)  (J\a-0)=
  lim  /(x ) = /(a ))  bo'lsa, 
У~]{х)
x-va+O 
x - m - 0
funksiya 
Cl
 
nuqtada o'ngdan (chapdan) uzluksiz deyiladi.
%

---

4.8-misoI  y = x
3
  funksiyaning ixtiyoriy  x0€ 
R
  nuqtada о‘ngdan va chapdan 
uzluksiz ekanligini koMsating.
Yechish.  lim^x
3
 = 
lim^x
3
 
= x\,
  demak  y = x
3
  funksiyaning ixtiyoriy
x0e 
R
  nuqtada o‘ngdan va chapdan uzluksiz.
Г, 
2
x,  x >
0
,
4.9-misol.  у = -Г 
л  funksiyani  x=0  nuqtada  uzluksizlikka
[3 + x,  x<0
tekshiring.
Yechish.  Funksiyaning  x = 0  nuqtadagi  qiymatini,  o‘ng va chap  limitlarini 
hisoblaymiz: 
^(0) = 
0
,  lim 
у
 =  lim (3 + 
x) =
 
3
,  lim у =  lim (
2
x) = 
0
 .  Bundan
*->0-0 
x—
*0—
0 
x—
*0+0 
x—
>0+0
y
(0
 + 
0
)  = y (
0
),y
(0
 — 
0
) 
Ф
 y (
0
),  demak  berilgan  funksiya  x = 
0
  nuqtada 
o‘ngdan uzluksiz, chapdan uzilishga ega.
4.10-misol. у = 
signx
 funksiyani 
x
 = 
0
 nuqtada uzluksizlikka tekshiring. 
Yechish.  Funksiyaning  * = 0  nuqtadagi  qiymatini,  o‘ng va chap  limitlarini
hisoblaymiz:  y(0) = 0,  lim  у = ( -
1
) = -
1
,  lim  у =  1 =  1.  Bundan  y(0 +
ДГ-+0—0 
x-*0+0
0
) 
Ф
 y (
0
),y
(0
 — 
0
) 
Ф
 y (
0
), demak berilgan funksiya 
x
 = 
0
 nuqtada o‘ngdan ham, 
chapdan ham uzilishga ega.
4.11-teorema.  Aytaylik 
f(x
)  funksiya 
X
  oraliqda  aniqlangan  va 
x0
 
6
 
X 
boMsin. 
f(x)
  funksiya 
x
 = x
0
  nuqtada uzluksiz boMishi  uchun  uning shu nuqtada 
chapdan va o‘ngdan uzluksiz boMishi zarur va yetarli.
Isbot. (4-13-masala)
4.12-ta’rif. X oraliqning har bir nuqtasida uzluksiz boMgan 
f{x)
 funksiya X 
oraliqda uzluksiz deyiladi.  Agar /(x ) funksiya 
(a,b)
 oraliqda uzluksiz, 
a
  nuqtada 
o‘ngdan, 
b
 nuqtada chapdan uzluksiz boMsa, u 
[a,b]
 kesmada uzluksiz deyiladi.
COS 
X
4.13-misol 
У = —7
— ---
7
  funksiyani uzluksizlikka tekshiring.
x
  + 
3x —
 4
Yechish.  Berilgan  funksiya  x = l  va 
x=-4
  nuqtalardan  boshqa  barcha 
nuqtalarda  aniqlangan.  Bu  funksiyaning  aniqlanish  sohasining  har  bir  nuqtasida 
uzluksiz  ekanligini  ko‘rsatamiz.  Haqiqatan  ham,  у = cosx  va  y = x: +3x-4
97

---

funksiyalar sonlar o'qining har bir nuqtasida uzluksiz va 
y = x2
 + 3x- 
4
 funksiya 
x=
 1  va x=-4 nuqtalardan boshqa barcha nuqtalarda noldan farqli.  Shu sababli  1- 
teoremaning 6-bandiga ko‘ra funksiya  x = l  va  x = -4  nuqtalardan boshqa barcha 
nuqtalarda  uzluksiz  boMadi.  Demak  u  (—oo, —4) U (—4,1) U (1,+oo)  to'plamda 
uzluksiz bo'ladi.
4.14-misol  a)