T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

x)
 =  V
—x —
 
1
 
Ф fix), 
shuningdek, 
fi~x)
  = 
V -x-1 = -y/x
 + 1 *  - /O ).  Demak,  /(x )  =  V x ^ T  
toq ham emas, juft ham emas.
4. 
Monoton  funksiyalar.  Aytaylik,  ^Д х )  funksiya 
X
 to'plamda  berilgan 
bo'lsin.
3.17-ta’rif.  Agar 
X
 to'plamdan  olingan  ixtiyoriy  xi  va 
хг
  lar  uchun  xi2 
tengsizlikdan Л^О^Д^г) tengsizlik  kelib  chiqsa,  u holda  bu funksiya 
X
 to'plamda
о suvchi
 deyiladi.
3.18-ta’rif.  Agar 
X
  to'plamda  olingan  ixtiyoriy  xi  va X
2
  lar  uchun  Xi2 
tengsizlikdan У(х
1
)>Дх
2
) tengsizlik kelib chiqsa, u holday(x) funksiya 
X
 to‘plamda 
kamayuvchi
 deyiladi.
3.19-ta’rif.  Agar 
X
 to'plamda  olingan  ixtiyoriy  xi  va  x
2
  lar  uchun  xj2 
tengsizlikdan  Дх
1
^Дх2)  (yoki  /xi)> /x2))  tengsizlik  kelib  chiqsa,  u  holda 
J[x) 
funksiya 
X
 to'plamda 
kamaymaydigan
 (yoki 
o 'smaydigan)
 deyiladi.
O'suvchi,  kamayuvchi,  kamaymaydigan,  o'smaydigan  funksiyalar,  bitta 
umumiy nom bilan 
monoton funksiyalar
 deyiladi (15-rasm).
65

---

3.20-misol. 
y-2x+l
  funksiyaning  aniqlanish  sohasida  o‘suvchi  ekanligini 
isbotlang.
Yechish.  Funksiyaning aniqlanish sohasi haqiqiy  sonlar to'plamidan iborat. 
Agar 
< 
x2
  bo'lsa,  u holda 
f(x2)
 - 
f(x x)
  = 
(2x2 +
 
1
) - (2xx  -I-1)  = 
2(x2
 - 
x\
) > 0  Bundan 
f(xx) < f(x 2),
 demak berilgan funksiya o'suvchi.
3.21-misol. 
f(x)
  = 
x2
  funksiyaning  (—oo;0)  da  kamayuvchi  ekanligini 
isbotlang.
Yechish. Haqiqatan, agar 
xx, x2
  e (-oo, 0) va 
xx  < x2
 bo'lsa, u holda
f(.x2) - f(x x)
  =   ( * 2 ) 2  -  
{xx)2
  =  
(x2
  -  
x1)(x2 +xx) < 0  
bo  ladi, bundan 
f(x
г)  > /(дг2) tengsizlik kelib chiqadi. Demak, berilgan funksiya 
kamayuvchi.
5. 
Teskari  funksiya.  Aytaylik, 
у
 = 
f{x)
  funksiya 
X
  to'plamda  berilgan 
bo'lib, 
Y
 = 
E(f) = {f (x): x E X)
 uning qiymatlar to'plami bo'lsin. 
Y
 to'plamdan 
olingan ixtiyoriy y
0
 uchun, 
X
 to'plamda 
y0 =
 / (
x0)
 tenglikni qanoatlantiruvchi 
x0 
soni mavjud. Bunday son bitta, yoki bir nechta bo'lishi mumkin.
f  
У
У
У
kamaymaydigan
15-rasm
66

---

Agar  К  dan  olingan  har  bir  у  uchun 
X
  to‘p!amda  у = 
f{x)
  tenglikni 
qanoatlantiruvchi x faqat bitta boMsa,  u holda 
x -
 
Bu funksiya у = /(x ) funksiyaga 
teskari funksiya
 deyiladi.
Masalan, 
X
 = 
Y
 =  (—
00
; +
00
)  da  berilgan 
у =  yfx
  funksiya 
x = y3 
funksiyaga teskari funksiya boMadi.
Bazan, 
y=J(x)
 funksiyaga teskari funksiyani 
x=f'l(y)
 kabi ham belgilashadi.
Agar x=q>(y) funksiya 
у = f(x)
  funksiyaga teskan  funksiya boMsa,  u holda 
у=_Ддс)  funksiya х=ф(у)  funksiyaga  teskari  funksiya  boMadi.  Shu  sababli,  bu  ikki 
funksiyani о 
zaro teskari jimksiyalar
 deyiladi.
MaMumki, у = 
f(x)
 funksiyada 
x
 argument, 
у
 funksiya deb yuritiladi.  Unga 
teskari boMgan J^pOO funksiyada x vay 
lar 
o'mini 
almashtirib 
У=ф(х) 
funksiyaga ega boMamiz. Shunday qilib, 
bir xil belgilash boMganda ham, 
funksiya  у = 
f(x)
  funksiyaga  teskari 
funksiya deb qaraladi.
0
‘zaro  teskari 
y=j[x)
  va у=ф(х) 
funksiyalarlaming grafiklari, 
to‘g‘ri 
chiziqqa nisbatan simmetrik boMadi (14- 
rasm). 
14-rasm
6
. 
Davriy funksiyalar. Aytaylik, 
y=j{x)
 funksiya berilgan va uning aniqlanish 
sohasi A'boMsin.
3.22-ta’rif. Agar biror 
T Ф
 0 son va ixtiyoriy 
x E X
 uchun, 
f(x
 ± 
T)
 = 
f(x) 
tenglik  o‘rinli  boMsa,  u  holda у = /(x )  funksiya 
davriy Jimksiya,  T
  uning 
davri 
deyiladi.
Ta’rifdan  ko'rinadiki,  у = /(x )  funksiya 
T
 davrli  davriy  funksiya boMishi
uchun
a) 
uning aniqlanish sohasi 
X
dan olingan ixtiyoriy x uchun 
x + T,x — T
 ham 
X
 ga tegishli boMishi;
67

---

b) ixtiyoriy 
x EX
 uchun 
f{x
 ± 
T)
  = /(* )  tenglik o'rinli bo'lishi kerak.
Agar  shu  shartlardan  birortasi  bajarilmasa,  u  holda Дл:)  funksiya  davriy 
funksiya bo‘lmaydi.
Davriy funksiyaning eng kichik musbat davri  (agar u mavjud bo‘lsa),  uning 
asosiy davri
 deyiladi.
3.23-misol. 
fix )  = sin3x
  funksiyaning davriy  ekanini  ko'rsating va  uning 
asosiy davrini toping.
Yechish.  Funksiyaning  aniqlanish  sohasi  £>(y)=(-oo;+oc).  Endi, 
/ ( x + T) = 
f  (x)
  tenglikni  qanoatlantiruvchi 
T
  ni  topamiz.  Shartga  ko'ra,  ixtiyoriy 
x
  uchun 
sin3(x
 + 
T) = sin3x
  bo'lishi  kerak.  Bundan, 
sin(3x
 + 3
T) — sin3x
 = 0, 
sinuslar  ayirmasini  ko'paytmaga  keltiramiz:  2
cos
(Зд: + 
T)
 sin у  = 0 
kelib
chiqadi.  Oxirgi  tenglik 
x
 ga bog‘liq  bo‘lmagan holda bajarilishi  uchun  sin у  = 0
bo'lishi  shart.  Bundan у  = 
nn,  T = 
n E Z.
  Bu sonlaming har biri  berilgan
funksiyaning davri bo'ladi.  Demak, funksiya davriy. Uning asosiy davri у  ekanini 
ko'rish qiyin emas.
3.24-misol. 
у
 = sin j   funksiya davriy emasligjni ko'rsating.
Yechish.  Berilgan  funksiyaning  aniqlanish  sohasi 
D(y)
  = (—
oo; 
0) U 
(0; 
+ oo) 
to'plamdan iborat. Agar funksiya davriy, davri 
T
 ga teng deb olsak, u holda
0 + 7\0 - Г   sonlar  ham  funksiyaning  aniqlanish  sohasiga  tegishli  bo'lmasligi 
kerak.  Ammo  ±Г 
E D(y).
  Bu  ziddiyat  berilgan  funksiyaning  davriymasligini 
ko'rsatadi.
Mashq va masalalar
Funksiyalami toq-juftlikka tekshiring (30-39):
3-30./(*)