T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

2
. Yaqinlashuvchi  ketma-ketlikning xossalari
2.24-teorema. 
Yaqinlashuvchi ketma-ketlik faqat bitta limitga ega bo'ladi. 
Isbot. 
0  Bu teoremani teskarisini  faraz qilish  usuli bilan  isbotlaymiz. 
Aytaylik, 
{*„} 
ketma-ketlik 
a
 
va 
b
 
turli  limitlarga  ega,  ya’ni 
lim 
xn 
-  a,
 
lim
xn 
- b ,  
(аФ 
b
)  bo'lsin.  U holda ixtiyoriy 
s >
 0  son uchun  shunday
rt—
*X 
n-W'
/7,  va 
n7
  nomerlar mayjudki, 
n > n }
  bo'lganda  |o -x „ |< ^   hamda 
n > n 2
  bo'lganda
\xn-b \< £~
  bo'ladi; 
nc
  nomemi  n,  va  w2  dan  katta qilib  olinsa, 
n > n ()
 
bo'lganda 
ikkala tengsizlik bajariladi:
\a 
— x   \< —,  \x  - b \  <
 —.
I 
2 
1  2
Bundan 
n > n 0
  bo'lganda
| a - 6| = | ( a - x j  + (x„ - 6) | < | a - x J  + |xH 
~b\<*^ + ~  = e.
Demak,  manfiy  bo'lmagan 
\a -b \
  son  ixtiyoriy  musbat 
e
  sondan  kichik 
bo'lishi  kerak.  Bunday son  esa nolga teng, ya’ni 
\a -  b\
 
=0 yoki 
a
 
= 
b
 
bo'lishi  kerak. 
Bu esa 
а Ф b
  degan farazimizga zid.  ♦
34

---

Bu  teoremam  geometrik  usulda  quyidagi  isbotlash  mumkin.  Faraz  qilaylik,
^
_
д
a*b,
  aniqlik uchun 
a
  boMsin. 
a
 va 
b
  laming e = “ — atroflanni  qaraymiz. 
U(a,e)
va 
U(b,s)
 atroflar umumiy nuqtaga ega emas (9-rasm).
Ща.ё) 
ЦЬ.ё)
9-rasm
a
  nuqta  {*„}  ketma-ketlikning  limiti  bo‘lganligi  sababli 
U(a,e)
  ning 
tashqarisida  ketma-ketlikning  faqat  chekli  sondagi  hadlari  mavjud.  Demak 
U(b,s)
 
atrofda  {*„}  ketma-ketlikning  cheksiz  ko‘p  hadlari  yotmaydi.  Bu  esa 
b
  ning  {*„} 
ketma-ketlik  limiti  ekanligiga  zid.  Shunga o‘xshash,  agar 
b
  {*„}  ketma-ketlikning 
limiti  boMsa, 
a
  ning  limit  boMalmasligini  ko‘rsatish  mumkin.  Demak, 
yaqinlashuvchi ketma-ketlik  limiti yagona bo Mar ekan.
2.25-teorema.
  Yaqinlashuvchi  ketma-ketlik chegaralangan bo‘ladi.
Isbot. 
0  lim 
x n
  =  
a
  boMsin.  Yaqinlashuvchi ketma-ketlik ta’rifigako  ra e  =