T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

2.21-misol. 
Umumiy  hadi 
x n  =
 
bo‘lgan  ketma-ketlikning  1  ga
yaqinlashishini  isbotlang.
Yechish. 
Buni  isbotlash  uchun  ixtiyoriy  olingan  musbat  (kichik)  £  songa 
ко4 a   shunday  n 0  nomemi  topish  mumkinki, 
n   > n 0
  boMganda 
\xn  —
  1 |  <
— l |   <  
£
  tengsizlikning bajarilishini  ko‘rsatish yetarli.
Buning uchun dastlab ——   1  ayirmaning absolyut qiymatini topamiz:
32

---

—
 
l|  = ~  
Endi 
< 
e
 
tengsizlikni  n  ga  nisbatan  yechamiz:  n 
> ^ 
— 2. 
Bundan n 0  =  
— 2j  deb olish mumkin, chunki  n  >   j  — 2  >  
— 2J  =  n 0. 
Shunday  qilib,  ixtiyoriy 
г 
musbat  son  uchun  shunday  n 0 
=  
[7
 “  
2]  nomer topilib, 
n   >  n 0
  boMganda  |xn  —  1|  <  
l |   <   £ 
tengsizlik  0‘rinli  bo‘ladi.  Demak,
ketma-ketlik yaqinlashuvchi  va  lim  —  =   1.
n
—>00
 71+2
Agar  [~ — 2J  < 0  b o isa, 
n 0  =
  1  deb olish yetarli.
Shunday  qilib,  berilgan  sonning  ketma  -   ketlik  limiti  ekanligini  isbotlash 
uchun quyidagi  harakatlami bajarish kerak:
1) 
\xn  —
  a I  ayirmani  tuzish;
2) 
\xn
  -   a I  <  
e
  tengsizlikni  n  ga nisbatan yechish;
3) kerak bo'Isa, tengsizlikni  baholashdan foydalanish;
4) tengsizlikni  qanoatlantiruvchi  biror natural 
no
 sonni topish;
5) topilgan uchun k e tm a-k etlik   limiti  ta’rifining bajarilishini  ko'rsatish.
Limitga ega bo‘lmagan ketma-ketlik 
uzoqlashuvchi
 deyiladi.
Bu  degani  har  qanday 
a
  son  olsak  ham  shunday 
e  >
  0 
son  ko‘rsatish 
mumkinki,  ixtiyoriy  n 0  nomer  uchun 
n  >
 n 0  bo‘lganda 
\xn
  — a |  >  
s
  tengsizlik 
o‘rinli bo‘ladi.
2.22-misol
  Umumiy  hadi 
x n
  =   n  bo‘lgan  ketma-ketlik  uzoqlashuvchi 
ekanligini  ko‘rsating.
Yechish. 
Teskaridan  faraz  qilamiz.  Ketma-ketlik  yaqinlashuvchi  va  uning 
limiti 
a
 ga teng deb faraz qilamiz.  U holda 
s
 musbat songa ko‘ra shunday n 0 nomemi 
topilib,  n  >   n 0  bo‘lganda  |n — 
a\  <  e
 
tengsizlik,  y a’ni 
a — E < n < a   + E
 
bajariladi.  Ammo 
a
  +  
e
 
dan  katta  bo‘lgan  ketma-ketlik  hadlari  cheksiz  ko‘p.  Bu 
ziddiyat  farazimizning  noto‘g ‘ri  ekanligini,  ketma-ketlikning  uzoqlashuvchi 
ekanligini  ko‘rsatadi.
2.23-misol
 
Umumiy 
hadi 
x n
  =   ( - l )n+1 
bo‘lgan 
ketma-ketlikning 
uzoqlashuvchi  ekanligini  ko‘rsating.
33

---

Yechish. 
Aytaylik, bu ketma-ketlik yaqinlashuvchi, ya’ni u biror a  limitga ega 
bo‘lsin.  A w al 
a
 
limitning  1  ga  teng  bo'lalmasligini  ko'rsatamiz.  Buning  uchun  1
nuqtaning  ( “ »“)  atrofni  qarash yetarli.  Bu  atrofning tashqarisida  ketma-ketlikning
cheksiz  ko‘p  hadlari  mavjud.  Demak,  1  ketma-ketlik  limiti  bo'lmaydi.  Shunga 
o'hshash -1  ning ham ketma-ketlik limiti bolmasligini ko'rsatish  mumkin.  Endi 
а  Ф
 
1  va 
а  Ф
  — 1  bo'lsin.  Agar 
e
  deb  m infla  -   1|,  |a   +   1|)  dan  kichik  musbat  sonni 
olsak, u holda bu nuqtaning atrofida ketma-ketlik hadlari mavjud bo'lmaydi.  Bundan 
a
 
ning ketma-ketlik limiti  emasligi kelib chiqadi.  Shunday qilib,  umumiy hadi 
x n  =
 
( —l )n+1  bo'lgan ketma-ketlik uzoqlashuvchi.