Статистика фанидан маъруза матнлари

Ranglar korrelyatsiya koeffitsiyenti

Juft bog’lanish zichligini baholash meyori sifatida ingliz psixatri CH.Spirmen tomonidan taklif etilgan ranglar korrelyatsiya koeffitsiyentidan ham foydalanish mumkin. Ranglar - bu sarflangan qatorda to’plam birliklari uchun berilgan tartib raqamlari. Agar x va u belgilar uchun

P_x
ranglarni ⁱ ,

^{Py i} orqali belgilasak, ularning korrelyatsiya koeffitsiyenti (10.6) formulaga binoan

quyidagi ko’rinishga ega:
n

_ (P_xi  P_x )(P_yi  P_— )

_{r } i1

P_x P_y

n ₂

n ₂



i1

(P_xi

 P_x )



i1

(P_yi

 P_— )
(8.8)

Bu yerda natural sonlar qatorining o’rtacha ranglari. (8.9)

X

У

i
d  Р  P

Bu yerda ^{i i}
n - qator ranglar soni.

Bu ifoda Spirmen ranglar korrelyatsiya koeffitsiyenti deb ataladi.

Bu ko’rsatkichni afzallik jihati shundan iboratki, son bilan ifodalab bo’lmaydigan belgilar uchun ham saflangan qatorlar tuzish mumkin.

2. 
   Guruhlangan ma’lumotlar asosida to’g’ri chiziqli regressiya tenglamasini aniqlash
   

Hisoblash ishlarining hajmini kamaytirish maqsadida to’plam birliklari omil (x) va natijaviy (u) belgilar bo’yicha kombinatsion shaklda guruhlanadi va natijada korrelyatsion jadval hosil qilinadi. So’ngra uning ma’lumotlari asosida regressiya tenglamasining parametrlari aniqlanadi.

lu	G^A^gu^aru^rh^ola^mn^ig^la^on^’^z^g^a^rm^i^-a^s’^h-A^i m^bo^ot^rl^sa^ar^,g^ua ^h^o^l^d^abia^krsloig^rsi^rag^ena^l	g^ba^ir^l^at^no’^ng^a’^tr^ii^j^ach^diz^ai^sq^tl^li^a^bbo^tg^e^z’la^s^uni^rs^’h^ad^t^-a^l^ao^rm^bi^il^l^ao^n’z^og^’a^zr^gu^av^rc^ih^ba^,n^sl^oig^’^ni ^gk^ro^a’l^ta^em^z^li^i^gc^ih^se^og^’a^nr^aasi ^y^an^ti^ss^ib^ya^ata^pn^a^rn^aa^-t^bij^oa^lv^oi^iy^d^sb^he^alg^ki^l^go^a’r^et^ga^ach^ba^o^’o^l^a’^dzg^i^.arishi o’zgarmas miqdor bo’lsa
hisoblangan regkreosr-rseilyyaat va korreblyilaatnsiyabi koeffitsiyentlari almashti bog’lanish zixcuhsluigsiinyia kuchaytirib tasvir-laydi

da un

, par siyada esa U - belgi bir birligiga nisbatan X belgi o’zgarishi omil qiymati o’z r me’yorda ketadi. Oqibatda bog’lanish xatto o’z ishorasini qarama-qar rib, to’g’ri bog’lanishdan teskari yoki teskaridan to’g’riga aylanishi mumkin.

t ko’pchilik tizimlarga xosdir.

Demak,

Belgilar orsidagi

munosabat barqa- rorlikka intiluv-chi nisbiy me’yor-lar bilan ifoda-lansa, bu holda egri chiziqli reg-ressiya

tenglama-lari qo’llanadi.
Gruppalangan ma’lumotlar bo’yicha regressiya tenglamasi parametrlarini hisoblash ularning aniqlik darajasini pasaytiradi, chunki bunda belgi qiymatlari uchun taqriban oraliqlar o’rtachasi olinadi. g’o’za mineral o’g’itlar bilan oziqlantirilmaganda xo’jaliklarda o’rtacha hosildorlik 21,644 tsg’ga bo’lishi mumkin edi. Har gektar g’o’zaga berilgan qo’shimcha o’g’it hosildorlikni o’rtacha 1.5 tsga oshiradi.

1. 
   Omillar o’rtasidagi teskari korrelyatsion bog’lanishni giperbola ko’rinishida ifodalash mumkin:
   

u q a₀ +a₁ g’ x

Agar regressiya koeffitsiyenti a₁ musbat ishoraga ega bo’lsa, omil belgi x qiymatlari oshgan sari natijaviy belgi kichiklasha boradi va shunisi e’tiborliki, kamayish sur’ati doimo sekinlashadi va x cheksizlikka intilganda natijaviy belgi o’rtacha qiymati a₀ teng bo’ladi,

ya’ni

y^ˆ_Х  a₀ .

Agar regressiya koeffitsiyenti a₁ manfiy ishoraga ega bo’lsa, omil qiymati

oshishi bilan natijaviy belgi qiymatlari kattalashadi, ammo o’sish sur’ati sekinlasha boradi va x u q a₀.

Giperboloid regressiya tenglamasi bilan almashtirib, uni to’g’ri chiziqli ko’rinishga keltirish mumkin. Natijada, kichik kvadratlar usuliga binoan, normal tenglamalar quyidagi shaklga ega bo’ladi:

naqa₁∑zq∑y

a₀∑zqa₁∑z₂q∑yx bundan

2. 
   Regressiya tenglamasi parabola
   

_Уˆ _Х

 _

 _х^
ko’rinishda ifoda qilinsa, xuddi

yuqoridagiga o’xshash x²qz almashtirish qo’llanilib, parametrlarni aniqlash formulalari hosil qilinadi:

а₀ 

yх⁴  yх²х²

nх⁴  (х² )²
(10.14);

а₁ 

nyх²  у х²

nх⁴  (х² )²
(10.15).

Ikkinchi tartibli parabola shaklidagi regressiya tenglama quyidagi ko’rinishga ega

Х  
У^ˆ    в х  в х^

(8.16)

Ikkinchi tartibli parabola uchun, kichik kvadratlar usuliga binoan, normal tenglamalar tizimi quyidagicha:

^na  b x  b x²  y

_ 1 2

1

2
_ax  x x²  b x³  yx

(10.17).

^ax²  x x³  b x⁴  yx²

_ 1 2

Guruhlangan to’plamlar uchun bu tenglamalar tizim:


^a х

_ j

• 
  в₁Σх _j f _j
  
• 
  в₂
  

Σх ² f

 Σy_j f _j

j

j
_aΣ f  в Σх ² f

• 
  в Σх ³ f  Σy f x
  

j j 1

 ₂

j j 2 j j

3 4

j j j

2

a_х _j

f _j  в₁Σх _j

f _j  в₂ Σх _j

f _j  Σy_jx _j f _j

Bu yerda:

j  1,...,k.

2. 
   Regressiya tenglamasini ko’rsatkichli funktsiya ko’rinishda
   

_Уˆ_Х

 a x^a1

aniqlash

0
uchun avval uni logarifmlab

ln У^ˆ _Х  ln a₀  ln xa₁

so’ngra

lnУ^ˆ _Х  U^ˆ _Z , lna₀ = b,

^{lnx = z} almashtirishlar yordamida chiziqli tenglama hosil qilinadi:

_Uˆ_Z

^{ b  a1z} . YUqoridagi formulalarga asosan a₁ va v aniqlab va kiritilgan almashtirishlardan

foydalanib quyidagini yozish mumkin:

 ln y(ln x)²   ln y  ln x ln x

b  ln a₀ 

n(ln x)²  ( ln x)^{2 ;}

(10.18),

_{a } n ln y ln x   ln y ln x _;

¹ n(ln x)²  ( ln x)²

(10.19)

0
U holda

_{a  e}ln a₀

Korrelyatsion bog’lanish kuchini baholashda korrelyatsiya indeksidan foydalaniladi:

i  

8.21

Bu koeffitsiyentning kvadrati determinatsiya indeksi deb ataladi.

Xususan, bog’lanishning shakli to’g’ri chiziqli bo’lganda determinatsiya va korrelyatsiya indekslari mos ravishda chiziqli determinatsiya va korrelyatsiya koeffitsiyentlari (r² va r) deb yuritiladi.

Gruppalangan to’plam uchun korrelyatsiya koeffitsiyenti bunday hisoblanadi:
r 

. 8.12
Korrelyatsiya koeffitsiyentining kattaligi esa regressiya tenglamasining funktsional bog’lanishga yaqinligini ko’rsatadi. Bu yerda kuzatilgan taqsimot belgilari orasida to’la adekvat bog’lanish mavjud deb hisoblanayotir. Ammo hayotda bunday to’liq moslik bo’lmaydi. SHu sababli korrelyatsiya indeksi bilan korrelyatsiya koeffitsiyenti orasidagi farq haqiqiy bog’lanish shakli qanchalik to’g’ri chiziqli bog’lanishga mos kelishini baholaydi.

Aniqlangan regressiya va korrelyatsiya ko’rsatkichlari har doim mohiyatli bo’lavermaydi. SHuning uchun ularning mohiyatli ekanligini tekshirib ko’rish zarur. Regressiya va korrelyatsiya ko’rsatkichlarining mohiyatligi Styudent (t), Fisher (F) va boshqa mezonlar yordamida baholanadi.

Regressiyaning chiziqli tenglamasi parametrlarining mohiyatli ekanligini tekshirishda t - mezondan foydalaniladi. Buning uchun har bir parametrga mos kelgan t ning haqiqiy qiymatlari quyidagi formulalar bilan hisoblanadi:

Elastiklik koeffitsiyenti omil

belgining 1% ga o₈’_.z₈g_. arga_Knd_oa_{’p o’lchovli} ^{natija qancha foiz}k^go^arrelyatsiya. Muhim va

a
t_a  ⁰ _ ,
t_a 
a₁ _X



o’zgarishini aniq-_mla_oy_hd_ii_yatli

tanlash

omillarni

0 1

 

(8.23)

So’ngra t mezonning hisoblangan haqiqiy qiymatlari t_haq

uning erkin darajalari soni n - 2 va qabul qilingan mohiyatli

darajasi  ga mos kelgan nazariy qiymati bilan taqqoslab

ko’riladi. Mezonning nazariy qiymati (t_jadv) Styudent taqsimoti jadvalidan aniqlanadi. Agar biror parametr uchun t_haq  t_jadv bo’lsa, u holda shu parametr qabul qilingan daraja bilan mohiyatli hisoblanadi. Parametr xatosining o’rtachasi quyidagicha hisoblanadi:

  ^{ }  

a₀ a₁

(8.25)

Korrelyatsiya indeksining mohiyatli ekanligi Fisher kriteriyasi bilan tekshiriladi.

Kriteriyaning F_haq haqiqiy qiymati:

(8.26)

Bu yerda: n - to’plam soni; m - tenglama parametr-lari soni. tarzida aniqlanib, uning jadvaldagi qiymati bilan taqqoslanadi.

Korrelyatsiya koeffitsiyentining mohiyatlilik darajasini Styudent t - mezoni bilan ham tekshirish mumkin. Agar ushbu tengsizlik

(8.27)

o’rinli bo’lsa, korrelyatsiya koeffitsiyenti mohiyatli bo’ladi.

To’plamning miqdori juda kichik bo’lganda korrelyatsiya indeksining aniqligini oshirish uchun qoldiq dispersiyaga quyidagicha tuzatish kiritiladi:

δ


2

е тузатилган

n ₂



δ
n  m ^е
(8.28)
 ²   ²  

bu holda omilli dispersiya

y^ˆ_x

y туз.

Regressiya tenglamasini tahlil qilishda natijaviy belgining omil belgiga nisbatan elastiklik koeffitsiyentidan ham foydalaniladi. Elastiklik koeffitsiyenti (E) omil belgining 1% o’zgarishi bilan natijaviy belgining o’rtacha necha foiz o’zgarishini ifodalaydi:

(8.29)

Bu yerda regressiya tenglamasining x bo’yicha xususiy hosilasi.

Formula ko’rsatadiki, umuman elastiklik koeffitsiyenti o’zgaruvchi miqdor bo’lib, uning qiymati omil belgining (x) qiymatiga qarab o’zgaradi.

CHiziqli regressiya tenglamasi uchun elastiklik koeffitsiyenti

0
(8.20)

Faqat bog’lanishning ko’rsatkichli funtsiyasi o’zgarmas miqdor bo’ladi, ya’ni Eqa₁.

y  a x^a1

uchun elastiklik koeffitsiyenti

Korrelyatsion bog’lanishning xususiyati regressiya tenglamasida bir necha muhim va mohiyatli omillar ishtirok etishini taqozo qiladi. SHuning uchun regressiya tenglamasiga kiritiladigan mohiyatli omillarni tanlash katta ahamiyatga egadir.

Ko’p omilli regressiya tenglamasida o’zaro kuchli chiziqli korrelyatsion bog’langan omillar bir vaqtda ishtirok etmasligi kerak. CHunki ular regressiya tenglamasida bir-birini ma’lum darajada takrorlab, natijada regressiya va korrelyatsiya ko’rsatkichlarining buzilishiga sababchi bo’ladi. Demak, tanlangan omillar ichida o’zaro kuchli chiziqli korrelyatsion bog’lanishda bo’lgan omillardan ba’zilarini regressiya tenglamasiga kiritmaslik kerak.
8.5. Ko’p omilli korrelyatsion-regression tahlil asoslari

Ko’p omilli regressiyaning chiziqli tenglamasi umumiy ko’rinishda quyidagicha yoziladi:

. (8.31)

Bu yerda:

^yˆ1,2,...k

- natijaviy belgining o’zgaruvchan o’rtacha miqdori bo’lib, uning indekslari

regressiya tenglamasiga kiritilgan omillarning tartib sonlarini ko’rsatadi; a₀ - ozod had;

a_j - regressiya koeffitsiyentlari.

Ko’p omilli regressiya tenglamasining parametrlari «eng kichik kvadratlar» usuliga asoslanib hosil qilinadigan ushbu normal tenglamalar sistemasining yechimidir:

(8.32)

Normal tenglamalar tizimi chiziqli algebraning biror usulini qo’llab yechiladi va noma’lum hadlar topiladi. yechishni SHEHMda bajarish uchun maxsus «Microstat»,

«Statgraphics» kabi amaliy dasturlar paketi yaratilgan.

Ta’kidlab o’tish kerakki, xususiy regressiya koeffitsiyenti , juft regressiya koeffitsiyentidan farqli o’laroq, muayyan omilning natijaga ta’sirini uning variatsiyasi bilan boshqa tenglamada qatnashayotgan omillar variatsiyasi orasidagi bog’lanishni hisobga olmagan holda, undan «tozalangan» tarzda o’lchaydi.

Xususiy regressiya koeffitsiyentlari a_j nomli miqdorlardir, ular turli o’lchov birliklarda ifodalanadi va sifat (ma’no) jihatidan har xil omillar ta’sirini o’lchaydi. Demak, ular bir biri bilan taqqoslama emas.

SHuning uchun standartlashtirilgan xususiy regressiya koeffitsiyentlari yoki  - koeffitsiyentlar hisoblanadi:

(8.36)

x_j omilga tegishli _j – koeffitsiyent muayyan omil variatsiyasining natijaviy belgi U variatsiyasiga ta’sirini regressiya tenglamada ko’zlangan boshqa omillar variatsiyasidan chetlangan (tozalangan) holda o’lchovchi nisbiy me’yor hisoblanadi. natijada ko’p o’lchovli regressiya tenlamasi quyidagi shaklni oladi:
. (8.37)

k
Agar natijaviy belgi va omillar qiymatlarini standartlashgan masshtabda olsak:

j
^uˆ .z

 _z_  _z_   _k z_k

 _  _jz _j j

(8.39)

O’z-o’zidan ravshanki, mazkur tenglamaning _j - koeffitsiyentlarini aniqlash uchun quyidagi normal tenglamalar tizimini yechish kerak:
Ko’p o’lchovli  - regressiya tenglamasi koeffitsiyentlarini natural qiymatlarga (a_j) keltirish uchun (10.39) formuladagi standartlashtirilgan regressiya koeffitsiyentlaridan ularning natural qiymatlari (a_j) ni quyidagiifodalarga asoslanib hisoblash kerak.

Xususiy regressiya koeffitsiyentlari bilan elastiklik koeffitsiyentlari o’rtasida quyidagi o’zaro nisbat mavjud.

Ma’lumki, elastiklik koeffitsenti

(8.40)

_{a }  _j _y

j <sub>

Э </sub> β _jσ_y

j _σ


^{x j} _ ^β j^vy

y ^v

ifodaga teng. Agar (8.36) dan a_j aniqlab,

^{x j} (8.40)ga qo’ysak

x _j x _j

(8.41). Bu yerda

 _x

V  ^{ y}

y _y

-natijaviy belgi variatsiya koeffitsiyenti,

j

x
V_xj 

j

- j = 1, k

- omil variatsiya koeffitsiyenti yoki

j
_{ } Э_jV_xj

V_y
(10.36a)
ёки

^{ j} _ ^Vxj

Э_j V_{y .}

Ko’p omilli regressiya tenglamasini baholash natijaviy belgi (u) bilan omillar (x₁, x₂, ,


0
x_k) o’rtasidagi korrelyatsion bog’lanishning kuchini o’lchash va tenglamaga kiritilgan barcha omillarning mohiyatli yoki mohiyatsizligini aniqlashdan iborat. Korrelyatsion bog’lanishning


kuchini o’lchashda natijaviy belgining umumiy dispersiyalaridan foydalaniladi.

2

^{01 2,...k} - omillar dispersiyasi.

( ² )

omilli

2

(

)
01...k

va qoldiq

2


δ
0(12...k )

δ
2

0(12...k )
- qoldiq dispersiya;

- umumiy dispersiya.

Dispersiya  ishoralaridagi nol «0» indeksi natijaviy belgini anglatadi (ya’ni u).

1,2,...,k q j - har bir o’rganilayotgan (tenglamaga kiritilgan) omilning tartib soni. Demak,

^ 01 2,...k

j  1,2, . . .k,

omillar dispersiyasi. qoldiq dispersiya nishonidagi qavs «uning ichida

sanab o’tilgan omillardan tashqari» degan ma’noni bildiradi va qoldiq dispersiyani omillar dispersiyasidan farq qilish uchun ishlatiladi.

Regressiya tenglamasi korrelyatsion bog’lanishni yaxshi ifoda etsa, natijaviy belgining haqiqiy va nazariy qiymatlari () o’rtasidagi tafovutlar kam, ya’ni qoldiq dispersiya kichik bo’lib, omillar dispersiyasi umumiy dispersiyaga yaqinlashadi. SHuning uchun bu dispersiyaning umumiy dispersiyadagi salmog’i

R


2

012...k

2





012...k

2

0

(8.42)

korrelyatsion bog’lanish kuchini xarakterlaydi. Mazkur nisbat ko’po’lchovli (omilli) determinatsiya koeffitsiyent deb ataladi.

Ko’p o’lchovli determinatsiya koeffitsiyentini kvadrat ildiz ostidan chiqarish natijasida ko’pomilli korrelyatsiya koeffitsiyenti hosil bo’ladi, u o’rganilayotgan omillar bilan natijaviy belgi orasidagi bog’lanishning zichlik darajasini ifodalaydi:

^R01 2.....k ^
. (8.43)

x_k omilning xususiy determinatsiya koeffitsiyenti.

2 _ 2

  ²

k
^ryx
(12 3...k 1)

_ 01 2...k 1k 01 2...k 1

 ²   ²

0 01 2...k 1

(8.48)
Xususiy determinatsiya koeffitsiyentini kvadrat ildiz

ostidan chiqarish natijasida xususiy korrelyatsiya koeffitsiyenti hosil bo’ladi:

k
(8.49)

^ryx (12 3...k 1) ^

Barcha kuzatilayotgan omillarni hisobga oluvchi tenglama uchun ko’p o’lchovli determinatsiya koeffitsiyenti:

n

^R201 2...m 1,m,m1...k

_^{(yˆ(i )}01 2...m 1,m,m1...k

₌ i1