Способы решения функциональных уравнений

Задача 1. 3
Укажите все функции-решения задачи 1.1, а затем задачи 1.2, обладающие следующими дополнительными свойствами:
а) непрерывностью в каждой точке своей области определения;
б) дифференцируемостью в каждой точке своей области определения;
в) четностью, или нечетностью, или периодичностью.
Первые же попытки решить задачи 1.1 (а) и 1.1 (б) помогают обнаружить существенное отличие свойств операции умножения функций от свойств соответствующего арифметического тезки.
Действительно, если из функционального равенства

немедленно следует, что (что аналогично выводу из арифметического равенства ), то сделать вывод из функционального неравенства вывод, аналогичный соответствующему "арифметическо -му" выводу (если для двух действительных чисел справедливо равенство , то , совершенно не правомочно. Без труда можно привести пример двух функций, не являющихся тождественными нулю, т.е. отличных от нуль-функции, чье произведение равно нуль- функции.

Например, таковыми являются функции


и

с областью определения R. Вот и получается, что решений у алгебраического уравнения ровно два: 0 и 1, а у задачи 1.1 (а)- бесконечно много. Приведем пример рассуждений, позволяющих описать все решения задач 1.1 и 1.2.

Решение задачи 1.1 (а).
Пусть - произвольное действительное число, тогда число - значение искомой функции в точке - должно в соответствии с условием задачи удовлетворять равенству:


или ,

а значит,

или ,

т.е. графику искомой функции (если таковая существует!) принадлежит точка , либо точка . Однако было бы грубой ошибкой вывести сюда, что при "конструировании" искомой функции надо назначить для всех значений аргумента одно и тоже значение функции - число нуль, или одно и тоже значение - единицу. Можно ведь и "чередовать" эти возможности при построении того или иного конкретного решения данной задачи. В частности, её условию удовлетворяет и знаменитая функция Дирихле

Очевидно также, что всякая функция с и , удовлетворяющая условию или для любого - это решение задачи пусть и "неконструктивно", но с достаточно удовлетворяющим ответом.

Ответ: условию задачи 1.1 (а) удовлетворяет всякая определённая на R функция, чей график принадлежит объединению двух прямых декартовой координатной плоскости с уравнениями и , и других решений нет.
Аналогично и для задачи 1.1 (б): все её решения - определенные на R функции, чьи графики лежат на "кресте", - принадлежат объединению двух прямых декартовой координатной плоскости, заданной уравнениями и .
Так же легко решить до конца задачу 1.1 и задачу 1.2. Но вот любопытно; и в студенческой, и в учительской аудитории бывает весьма не просто убедить слушателей, что у задачи 1.2 бесконечно много решений и наряду с такими решениями, как функции


и - , ,

будут, например, такие:

и

Обратимся теперь к задачам 1.3 (а) и 1.3 (б). Для их решения удобно использовать интуитивное представление о графике функции, заданной и непрерывной на некотором промежутке, как о некоторой "непрерывной" линии, которую можно вычертить, не отрывая карандаш от бумаги.

Покажем, как можно получить решение задачи 1.3 (а), когда дополнительные требования непрерывности накладываются на условие задачи 1.1 (б). Ради краткости примем для обозначения этой задачи символ 3 (а) 1 (б).
Решение задачи 1.3 (а) 1.1 (б). Прежде всего, любая, и в частности непрерывная, функция - решение этой задачи обязана в точке = -3 принимать значение - 3, или 3, так как других точке с абсциссой -3, кроме (-3;-3) и (-3;3), на объединении графиков функции и просто нет.
Рассмотрим первый случай, когда график искомой функции (если таковая существует!) проходит через точку (-3;3). Заставляя аргумент монотонно возрастать от -3 до , вначале доберемся до его нулевого значения - абсциссы общей точки (0;0) графиков функции и . При этом переменная точка , вычерчивая соответствующую часть (от точки (-3;3) до точки (0;0)) графика искомой непрерывной функции-решения, не сможет (именно потому, что нас интересует непрерывное решение) покинуть график функции и "перескочить" на график функции , т.е. эта переменная точка будет непрерывно скользить по прямой . Однако, добравшись до точки (0;0), мы окажемся как бы в роли витязя на перепутье: либо далее двинемся по той же линии - графику функции , что даст нам первое решение задачи - функцию (заметим, что для значений аргумента, меньших -3, подобных "развилок" нет!), либо повернем на линию , что даст нам ещё одно решение задачи:


=

Во втором случае, когда будем искать непрерывное решение, график которого проходит через точку (-3;3), аналогичный анализ дает ещё два непрерывных на R решения - функции и . И других решений указанного класса нет.

И наконец, о причинах выбора точки : конечно же, вместо нее можно было бы взять любое отрицательное число и даже любое ненулевое (лишь бы не нуль - абсциссу общей точки графиков функций ).
Ответ: условию задачи 1.3 (а) 1.1 (б) удовлетворяют ровно четыре функции, это

Решение задачи 1.3 (б) 1.1 (б). Помня о соотношении между непрерывностью и дифференцируемостью функции в точке, мы должны будем осуществить выбор дифференцируемых на R функций из четырех решений задачи 1.3 (а) 1.1 (б). Таковыми окажутся

.

Ответ: искомые функции

.

Для задач 1.3 (а) 1.1 (а) и 1.3 (б) 1.1 (а) аналогичные рассуждения позволяют указать ровно два непрерывных и одновременно дифференцируемых решения - функции и , т.е. .

2. Свойства основных операций над функциями, которые отличаются от свойств одноименных операций над действительными числами

Продемонстрировав некоторые возможности применения функциональных уравнений в элементарной математике, перейдем теперь к рассказу об их реальном, хотя и малозаметном присутствии (и уже не один десяток лет!) в школьном курсе математики. Но прежде чем как узнать разделы и понятия школьного курса, под сенью которых скрываются функциональные уравнения, напомним, как в математике определяют это понятие: функциональное уравнение - это уравнение, в котором неизвестным является функция, связанная при помощи образования сложной функции с известными функциями.

А вот теперь, помня, что бесконечная числовая последовательность - это произвольная вещественнозначная функция с областью определения - множеством натуральных чисел, внимательно присмотримся к определениям бесконечной арифметической и бесконечной геометрической прогрессий.
Бесконечная арифметическая прогрессия определяется как последовательность , удовлетворяющая условию


,

где d - фиксированное действительное число, а n -любое натуральное.

Иначе говоря, бесконечная арифметическая прогрессия в школьном курсе математики определяется как решение следующего функционального уравнения:


. (2.1)

Аналогичная ситуация и с бесконечной геометрической прогрессией. Она определяется в школьном курсе математики как функциональное уравнение вида:

где q - произвольное фиксированное ненулевое действительное число.

Далее, чтобы найти в явном виде выражение для как аналитически заданную функцию от n, обычно решают эти функциональные уравнения по традиционной схеме, реализацию которой продемонстрируем на примере уравнения (1).
1. В начале производят накопление "экспериментальных" данных - находят выражение для f(1), f(2), f(3) и т.д.
2. Затем строят на основе этого "эксперимента" гипотезу, что