Sonli ketma-ketliklar. Sonli ketma-ketliklarning limiti. Chegaralangan, monoton ketma-ketlik limiti

Monoton ketma-ketlikning limiti haqidagi teoremalar.

5–teorema. Agar ketma–ketlik o’suvchi bo’lib, yuqoridan chega-ralangan bo’lsa , u chekli limitga ega; agar ketma–ketlik yuqoridan chegaralanmagan bo’lsa, u holda ketma–ketlikning limiti bo’ladi.

◄ Avvalo, ketma–ketlik o’suvchi va yuqoridan chegaralangan bo’lgan holni qaraymiz. Ketma–ketlik yuqoridan chegaralanganligi uchun shunday soni mavjutki, son uchun tengsizlik o’rinli bo’ladi. Bu esa ketma–ketlikning barcha hadlaridan tuzilgan to’plamning yuqoridan chegaralanganligini ifodalaydi. Unda to’plamning aniq yuqori chegarasi haqidagi 3–teoremaga asosan bu to’plam uchun mavjud bo’ladi. Biz uni bilan belgilaylik: . Endi son ketma–ketlikning limiti bo’lishini ko’rsatamiz.

Aniq yuqori chegaraning ta’rifiga ko’ra , birinchidan, to’plamning har bir elementi uchun tengsizligi o’rinli bo’lsa, ikkinchidan , olinganda ham ketma–ketlikning shunday hadi topiladiki, bu had uchun tengsizlik o’rinli bo’ladi. Demak,

Qaralayotgan ketma–ketlik o’suvchi. Demak, . Shu sababli bo’lganda tengsizlik bajariladi. Shunday qilib, olinganda ham shunday son topiladiki, bo’lganda tengsizlik bajariladi. Bu esa son ketma–ketlikning limiti eka-nini ko’rsatadi.

Endi ketma–ketlik o’suvchi bo’lib, yuqoridan chegaralanmagan bo’lsin. Unda har qanday katta musbat son olinganda ham ketma-ketlikning shunday hadi topiladi, > bo’ladi. Ammo barcha lar uchun tengsizlik o’rinli bo’lgani sababli > tengsizlik ham bajariladi. Bu esa bo’lishini bildiradi. ►