Skalyar va vektor maydonlar. Ularning xarakteristikalari

Deformatsiya tenzori invariantlari.

Ushbu tenglamaning koeffisiyetlari koordinat sistemasini almashtirishga bog’liq emas, chunki ular ildizlar yordamida, ya’ni deformatsiya tenzorining bosh komponentalari yordamida to’liq aniqlanadilar. Boshqacha aytganda bu koeffisientlar invariant kattaliklardir hamda quyidagicha belgilanadilar
(7.20)

Shunday qilib, deformatsiya tenzorining bosh komponentalarini aniqlash uchun berilgan ¹, ^2, ³ koordinatalar sistemasida koeffisiyetlari (8.4) ifodalardan iborat kubik tenglama tuzib uning ildizlarini topish kerak ekan.


Vektor maydonining rotori va divergensiyasi
Endi vektorning rotasiyasi tushunchasini kiritamiz. Faraz qilaylik biror uzluksiz vektorli maydon berilgan bo’lib, vektori koordinatalar bo’yicha birinchi tartibli hosilalarga ega bo’lsin. Qaralayotgan vektorini tezlik vektori ning o’rniga qo’yib maydon uchun (9.26) formulani quyidagicha yozish mumkin
(10.1)
bu erda

(10.2)
Oxirgi (10.2) formula Dekart koordinatalari sistemasida yozilgan. Ushbu (10.2) formula yordamida kiritilgan vektori vektorining rotori deyiladi va
(10.3)
kabi belgilanadi.
Xuddi (9.31) ga o’xshash vektorining divergensiyasini ham kiritish mumkin

yoki Dekart koordinatalari sistemasida

Bundan oldingi (9.21) va (9.22) formulalardan ko’rinadiki, uyurma vektori

tezlik vektori rotorining yarmiga teng.
2. Vektorning sirkulyasiyasi.
Vektorning sirkulyasiyasi tushunchasini kiritish uchun vektorli maydonning aniqlanish sohasida biror L ochiq yoki C yopiq konturni olamiz va - skalyar ko’paytmani tuzamiz. Bu erda L yoki C ning yo’nalishga ega biror elementi. Ma’lumki, vektorlarning skalyar ko’paytmasi invariant miqdordir, chunki ko’paytirish natijasida skalyar miqdor hosil qilinadi. vektorning kontur bo’yicha sirkulyasiyasi deb quyidagi integral ko’rinishdagi skalyar miqdorga aytiladi

Kiritilgan Г miqdor ning yo’nalishidan bog’liq bo’lganligi uchun

Г_АВ = - Г_ВА.