Skalyar va vektor maydonlar. Ularning xarakteristikalari

Agar vektor sifatida tutash muhit nuqtalarining - tezligi qaralsa

miqdor, tezlik sirkulyasiyasi deyiladi.

Faraz qilaylik, tezlik vektori potensialga ega bo’lsin, ya’ni

= grad ,
u holda
.
Bu erdan ko’rinadiki, harakat potensialli bo’lganida tezlik sirkulyasi A va B nuqtalarning kordinatalariga bog’liq, ya’ni agar  - potensial koordinatalarning bir qiymatli funksiyasi bo’lsa, Г ning qiymati konturning ko’rinishiga bog’liq emas. Masalan,

bo’lganda Г_L = Г_C = 0 tengliklar o’rinlidir. Lekin agar

bo’lsa,
,
yani shunday koordinat boshini o’z ichiga olgan, yopiq C konturlar mavjudki, bu konturlar bo’yicha hisoblangan sirkulyasiya noldan farqli bo’ladi.
3. Stoks teoremasi
Endi tezlik vektor potensialli bo’lmagan holni qaraymiz. Yopiq C – konturni olamiz va unga  silliq sirtni tortish (yopish) mumkin deb hisoblaymiz (doiraning qasnog’iga teri tortgan kabi). Silliq  sirtida tezlik uzluksiz va differensiallanuvchi, ya’ni C konturni ning uzliksizligi va differensiallanuvchiligini saqlagan holda nuqtagacha toraytirish mumkin deb hisoblaymiz.
Silliq  sirtni C_k konturlar yordamida 11.1-chizmada ko’rsatilganidek qisimlarga bo’lamiz. U holda

10.1- сhizma

Bunda C_k konturlarning umumiy tomonlari bo’ylab olingan integrallar o’zaro qisqarib ketganliklari uchun tenglik o’rinlidir.
Endi C_k konturlarni juda kichik deb qarasak, tenglikning o’ng tomonidagi integralni hisoblashda tezlik Koshi Gelmgols teoremasiga ko’ra aniqlanadi deb hisoblash mumkin
(10.4)
u holda uchun

ifodaga ega bo’lamiz. Bu erda had hadga nisbatan yuqori darajali cheksiz kichik miqdor va uni hisobga olmaslik mumkin. Bundan tashqari

bo’lganligidan

Ikkinchi tomondan ds = d (10.1-chizmaga qarang), demak
.
Bu erda vektorning C _kkonturi bo’yicha o’zgarmasligidan foydalanildi ( faqat O_k ning vaziyatidangina bog’liq). Undan tashqari
,
bu erda - d ning birlik normali va  ning C _k ni tortib turuvchi sirtini tekis deb hisoblash mumkin (shaklga qarang).
Shunday qilib,

bu erdan k da va C _k – nuqtagacha kichzaytirilganda quyidagi ifodaga ega bo’lamiz
. (10.5)
Olingan (10.5) natijaStoksteoremasidebataladi, ungako’ratezlikningCyopiqkonturbo’yichasirkulyasi, shukonturgatortilgansirtorqalio’tuvchiuyurmavektoriningikkilanganoqimigateng.
Uynrma vektorining sirt orqali o'tuvchi oqimi

dir. Yuqoridagi (10.5) formulani chiqarishda vektor ko’paytmadan foydalanildi va u  sirtning normali bo’ylab yo’nalgan deb hisoblanildi ( sirt tekis sirt deb qaraldi). Vektorlarning vektor ko’paytmasi xossalarini esga oladigan bo’lsak, yo’nalishi uchidan qaraganda C konturni soat strelkasi yo’nalishiga teskari yo’nalishda aylanadigan bo’lib ko’ringan tomonga qarab yo’nalganligi ma’lum bo’ladi. Demak, vektorining uchidan qaraganda C konturni aylanishi soat strelkasi yo’nalishiga teskeri yo’nalishda bo’lishi kerak.
Agar - tezlik vektorining o’rniga boshqa - uzliksiz va differensiallanuvchi vektor qaralsa ham Stoks teoremasi o’rinli
(10.6)
Lekin

bo’lganligidan ixtiyoriy vektorning sirkulyasiyasi uchun


formulaga ega bo’lamiz.