Skalyar va vektor maydonlar. Ularning xarakteristikalari

3.4. Oqim naychasi (oqim sirti)
Harakatlanayotgan suyuqlikda cheksiz kichik yopiq kontur belgilaymiz va uning barcha nuqtalari orqali oqim chiziqlari o’tkazamiz (3.2-chizma). Hosil qilingan sirt oqim naychasi (trubkasi) yoki oqim sirti deb ataladi. Tanlangan kontur suyuqlik harakati bilan band bo’lgan fazoda belgilandi, demakki, harakatdagi suyuqlikning qaysidir bir qismi shu oqim sirtining ichida yotadi. Oqim naychasi bilan chegaralangan suyuqlik bo’lagi sharracha yoki tizillab oqayotgan suyuqlik deb ataladi.
Tutash muhitning barqaror harakatida oqim naychasi vaqt bo’yicha o’zgarmaydi va suyuqlik zarrachalari shunday harakat qiladiki, ularning har biri biror belgilangan sharracha ichida qoladi.
Agar oqim chiziqlari yetarlicha kichik tanlansa, u holda oqim naychasining ixtiyoriy ko’ndalang kesimida tezlikni bir jinsli deb hisoblash mumkin. Bunday holda, oqim naychasi bo’ylab tenglik o’rinli bo’lishini massaning saqlanish qonuni talab qiladi. Ammo tahlil uchun massaning saqlanish qonunini umumiyroq ifodalovchi tenglama – uzviylik differensial tenglamasi talab qilinadi.

Vektorning va tenzorning ta’riflari.

TA’RIF 1. Xuddi ga o’xshash bazis vektorlari orqali A=Aⁱ kabi tasvirlanuvchi va A komponentalari (4.20) formulalar bilan almashtiriluvchi

hamda koordinatalarni almashtirishga nisbatan invariant
(4.21)
ob’yekt vektor deyiladi. Bu yerda A kattaliklar koordinat sistemasiga bog’liq bo’ladilar, bazis vektorlari esa A_i kattaliklar yordamida yangi ob’yekt- vektorni bunyod qiladilar.
Chiziqli koordinatalar sistemasida tenzorning ta’rifini berish uchun bundan keyin bizga vektorlarining diad ko’paytmalari tushunchasi bilan tanishish zarur bo’ladi (diad – ikki vektor ko’paytmasi, poliad ko’p vektorlar ko’paytmasi demakdir). Bazis vektorlarining quyidagi diad ko’paytmalarini kiritamiz

va
(4.22)
ob’yektni qaraymiz. Bu yerdagi T sonlar T ning E bazisdasi komponentalari deyiladi. Bazis vektorlarining diad ko’paytmalari chiziqli bog’lanmaganlar. U holda T=0 tenglik faqat T =0 ( = ) munosabat i ning hamma qiymatlari uchun bir varakayiga bajarilsa o’rinli bo’ladi. Odatda E_ilar o’rniga belgilashlarni ishlatish va (4.22) ni
T = T
ko’rinishda yozish ancha qulayroq. Diad ko’paytmalar ham xuddi bazis vektorlarining o’zlari kabi koordinatalar sistemasini tanlashga, boshqacha aytganda koordinatalar sistemasiga bog’liq bo’ladi. Bu esa o’z navbatida koordinatalarni almashtirganda diadlarni almashtirish formulasini chiqarishni taqozo qiladi. Yuqorida keltirilgan (4.19) formula asosida diad ko’paytma uchun
(4.23)
ifodaga ega bo’lamiz. Demak,
T = T
ob’yekt invariant bo’lishligi uchun va (4.23) formulaga asosan T kattaliklar kontravariant yo’l bilan almashtirilishlari zarurligi kelib chiqadi, ya’ni
(4.24)
TA’RIF 2. T = T ^ij - invariant ob’yekt ikkinchi rang tenzor deyiladi. Tenzorning rangi deb uning komponentalarining indekslari soniga aytiladi.
Yuqorida ta’kidlanganidek vektor birinchi rang tenzordir. Ikkinchi rang tenzorga o’xshash ixtiyoriy rangli tenzor tushunchasini kiritsh mumkin. Masalan
T = T ^{i j k l}
ob’yekt to’rtinchi rang tenzordir. Bu yerdagi T ^ijkl larni poliad ko’paytmalar boshqaradi; T ^{i j k l} komponentalar xuddi (4.24) kabi almashtiriladilar.