Skalyar maydon 1 Skalyar kattaliklar. Skalyar maydon ta’rifi

10.2 Solenoidli maydonning xossalari

1. 
   Solenoidal maydonda maxsus nuqtalarni o‘z ichiga olmagan yopiq sirt bo‘yicha oqim nolga teng:
   

Isbot: bo’lgani uchun Ostragradskiy formulasiga ko’ra

2. 
   Solenoidal maydonda barcha maxsus nuqtalarni o‘z ichiga olgan barcha yopiq sirtlardan olingan oqim o‘zaro teng bo’ladi;
   

Isbot: sirtlar maydonning barcha maxsus nuqtalarini o‘z ichiga olgan sirtlar bo’lsin. Chegarasi bo’lgan jism hajmini deb belgilaylik. jism ichida bo’lgani uchun Ostragradskiy formulasiga ko’ra

bo’ladi. Ikkinchi tomondan

Shuning uchun .

3. 
   Solenoidal maydonda vektor naychasining ixtiyoriy kesimidan olingan oqim o‘zgarmasdir (naycha intensivligi).
   

I sbot: Biror yopiq chiziqdan o‘tuvchi vektor chiziqlar majmuasini - vektor naychasini ko’raylik (10.2.1-chizma). lar vektor naychasining rasmda ko‘rsatilgan ko‘rinishdagi orientirlangan bo’sin. - vektor naychasining sirti.

hajm sirti. sirtdan o‘tuvchi oqimni hisoblaymiz. (10.2.1-chizma)
2-xossaga ko’ra bu oqim nolga teng. Ikkinchi tomondan

sirt vektor chiziqlaridan iborat bo’lgani uchun

Demak, yoki
1-misol: maydonning solenoidalligini tekshiring.
Yechish:


Divergensiya formulasidan topamiz:

Bundan, maydon solenoidal.
10.3 Potensial maydon. Potensiallik shartlari
vektor maydon berilgan bo’lib, uning komponentalari uzluksiz va uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo’lsin.
Ta’rif 10.3.1. Agar vektor maydonning uyurmasi sohaning hamma nuqtalarida nolga teng

bo‘lsa, u holda bu maydon shu sohada potensial (yoki gradientli, uyurmasiz) maydon deyiladi.
Potensial maydonning ta’rifiga hamda uyurma formulasiga ko‘ra maydonning har bir nuqtasi uchun

bo‘ladi, ya’ni quyidagi ayniyatlar o‘rinli bo‘ladi:

Shuning uchun (10.3.2) ayniyatlarning bajarilishi vektor maydonning potensialligi sharti bo‘ladi.
Ta’rif. Gradienti skalyar maydonni vujudga keltiruvchi skalyar funksiya shu vektor maydonning potensial funksiyasi (yoki potensiali) deyiladi.
Shunday qilib, potensial maydon

munosabat bilan ifodalanadi, bunda

bo‘lib, shu bilan birga yoki