Skalyar hám vektorlar

Ostrogradskiy formulası. Divergenciya. vector maydan berilgen bolsın. Jabıq betlik menen shegaralanģan deneni alayıq hám betliktiń sırtqı normalın menen belgileyik. Onda Ostrogradskiy formulasına kóre, eger bul formulada dep alsaq, vektordıń betlikten sırtqı tárepke ótiwshi aģımdı úsh eseli integralģa keltiriw múmkin:

Úsh eseli integral astındaģı ańlatpa vektordıń divergenciyası (yaki tákirarlıģı) dep ataladı hám tómendegishe belgilenedi:

Sonday etip , Ostrogradskiydiń eń kóp qollanatuģın formulası tómendegi kóriniste boladi:

Házirģana kiritilgen shama, yaģnıy divergenciya, skalyar, biraq onıń anıqlaması koordinata sistemasınıń tańlanıwına formal tárepten baylanıslı. Usı kemshilikten qutılıw maqsetinde noqatın betlik menen shegaralanģan birar dene menen orap, sol dene ushın (9) formulanı jazamız , soń teńliktiń eki tárepin dene kólemi ģa bóleklep, dene noqatqa jıynalģanda limitke ótsek , onda oń tárepinde tap sol noqattaģı payda boladı;

bul teńlik hám divergenciya anıqlaması sıpatında alınıwı múmkin hám divergenciyaģa bunday anıqlama beriw koordinata sisteması tańlawģa baylanıslı bolmaydı.
Endi vector maydanı skalyar divergenciya maydanın payda etedi. Aytıp ótiw kerek divergenciyanıń (8) anıqlaması Gamiltonnıń simvolik vektorı járdeminde tómendegishe jazılıwı múmkin :
.
Eki vektordıń skalyar kóbeymesin ańlatıwshı (1) formulanı eslesek joqarıdaģı teńlik tuwrılıģı kórinedi.
Mısalı. Sıģılmaytuģın suyıqlıqtıń manbalar hám obrezlar bar jaģdayın-daģı háreketin jasayıq. Jabıq betlik ishindegi manbalardiń ónimdar-lıģı dep , betlikten waqıt birkigi dawamında aģıp ótiwshi suyıqlıq kólemine, yaģnıy tezlik vektorı nıń aģımı ke aytıladı. Eger manbalar sol oblıstta úzliksiz bólistirilgen bolsa, onda manbalar tıģızlıģı túsinigi kiritiledi. noqatın oraģan dene ishindegi manbalar ónimdarlıģınıń dene kólemine qatnasınıń limiti, yaģnıy

shamanı sonday dep aytadı. Bıraq joqarıda kórdik bul limit ģa teń. Demek, manbalar tıģızlıģınıń ózi eken.
Jıllılıq manbaları qatnasıp atırģan jıllılıq aģımı ushın da joqarıdaģı pikirlerdi aytıw múmkin, tek tezlik vektorı ornına ıssılıq aģımı vektorı alınadı.
Eger bolsa, maydanı salenoidal, yaģnıy truba sıyaqlı maydan delinedi. Bul shárt keńisliktiń maydan bólegi bir baylamlı jaģdaylarda - vektorınıń qálegen jabıq hám birar deneni shegaralawshı betlikten sırtqı tárepke ótiwshi aģımı nólge teń bolıwı, yaģnıy

Shárti menen teń kúshli. Eki qálegen bólekleri hám arasındaģı vector trubasın qarayıq, trubanıń qaptal betin menen belgileyik.

Onda aytılģanģa muapıq, boladı hám hámme jaģdaylarda normal sırtqı tárepke baģıtlanģan. betlik noqatlarında . Eger bóleginde normal baģıtı niń normalı baģıtı menen sáykes qılıp ózgertsek , onda mına teńlikke iye bolamız:
Sonday etip biz salenoidal maydannıń usı qásiyetin shıģardıq: vector trubanıń kese kesiminen ótiwshi salenoidal vector aģımı ózgermes shama boladı; bul shamanı vector trubanıń intesivligi delinedi.
Eger vector maydannıń joqarıda qurılģan gidromexanik interpretaciyasına qaytsaq, bul qásiyet tómendegishe aytıladı. Sıģılmaytuģın suyıqlıqtıń manbalar qatnaspaģan jaģdayındaģı háreketinde vector trubasınıń kese kesiminen ótken suyıqlıq shaması hámme bólekler ushın birdey boladı.