Skalyar hám vektorlar

Berilgen baģıt boyınsha tuwındı. Gradient. Skalyar maydan berilgen bolsın. Kóp máselelerde bul noqat funkciyanıń ıqtıyarıy berilgen baģıt boyınsha “ózgeriw tezligin” yaģnıy “tuwındısın” tabıw áhimiyetli ról oynaydı.
Iqtıyarıy, baģıti kórsetilgen tuwrı sızıqta (yaki kósherde) ózgermes noqatın hám ózgeriwshi noqatın alayıq.

Baģıtlanģan kesindiniń den ge shekemgi uzınlıģı , yaģnıy niń baģıtı diki menen birdey bolsa, oń belgi menen , kerisinshe bolsa teris belgi menen alınģan kesindi uzınlıģın dep belgileyik.
noqat ģa sheksiz jaqınlasıp barsın. Onda

limit funkciyanıń noqattaģı baģıt boyınsha tuwındisi delinedi hám
(4) simvol menen belgilenedi. Usı túwindı funkciyaniń noqattaģı baģıt boyınsha ózgeriw tezligin xarakterleydi.
Birar koordinata sisteması berilgen bolsın hám koordinatalar sisteması funkciyası
qaralıp atırģan oblastta hár bir ózgeriwshisi úziliksiz dara tuwındılarģa iye bolsın. Onda biz házir kóremiz (4) tuwındı bar hám tómendegi teńlik orınlı:

Bul jerde barlıq tuwındılar noqatta esaplanģan lar bolsa sol kósherdiń baģıtlawshı kosinusları. (5) formulanı dálilleyik. Eger dep belgilesek, ózgeriwshi noqat koordinataları tómendegi koriniske keledi:
.
bolsa nıń quramalı

Funkciyadan boyınsha alınģan tuwındınıń noqattaģı mánisine teń boladı. Quramalı funkciyanıń differenciyallaw qaģıyadasına kóre onıń mánisi (5) formulanıń oń tárepine teń boladı.
Kósherlerge proekciyaları
(6)
bolģan vektorın kiriteyik : onı nıń gradient delinedi hám
simvol menen belgilenedi.
(5) formulaģa qaytsaq menen baģıtındaģı ort (birlik vector) di belgilesek, onı tómendegishe jazıp alsaq boladı:

Budan kórinip turģanınday , tuwındı óziniń eń úlken mánisine diń baģıtı gradient baģıtı menen birdey bolģan jaģdayda ģana erisedi hám bul eń úlken mánis ke teń boladı.
Endi bul nátiyje bizge gradienttiń koordinata sistemasınan paydalanılģan joqarıdaģı formal anıqlama orınına oģan basqasha anıqlama beriwge boladı:
Skalyar shama dıń gradienti dep san jaqtan hám baģıt jaqtan dıń eń úlken ózgeriw tezligin xarakterleytuģın vektorģa aytıladı. Bul jerde koordinata sisteması itibarģa alınbaydı; bul menen gradient túsiniginiń tiykarında koordinata sistmasın tańlawģa baylanıslı emesligi kórinedi.
Gradient baģıtı berilen noqattan ótiwshi teń mánislilik betligi ne normal baģıtı menen birdey bolıwın kóriw qıyın emes. Sonday qılıp , skalyar maydandaģı gradient nıń vector maydanın keltirip shıģaradı. Ingiliz matematigi Uilyam Rouan Gamilton kósherlerge proekciyası

Bolģan simvolik vektordı kiritedi hám “nabla” dep ataydı, menen belgiledi. Sol belgilewden paydalansaq dep jaza alamız. Haqıyqatınanda eger sol “vector”dı ģa formal kóbeytsek, proekciyaları (6) bolģan vector payda boladı.
Mısallar. 1) Ózgermes noqatın keńisliktiń ózgeriwshi noqatı menen tutastırıwshı radyus vektorın menen, onıń uzınlıģın menen belgileyik hám dep alayıq; - oń skalyar argument diń birar skalyar funkciyası bolıp, onıń tuwındısı belgisin ózgertirmesin. Teń mánislilik betlikleri, orayı da , radyusi bolģan sferalardan ibarat, demek, gradient baģıtı yaki bolıwına qarap yaki radyus baģıtı menen birdey, yaki oģan keri boladı. Ulıwma aytqanda
bolatuģın ekenligin kórsetiw qıyın emes. Ayrıqsha etip aytqanda,
Eger noqatqa massa jaylastırılģan bolsa hám Nyuton tartısıw kúshleri maydanı qaralıp atırģan bolsa , bul maydanıń noqattaģı kernewliligi
boladı. Sonday qılıp .

2. 
   Temperaturanıń maydanın qarayıq. Betlik elementi alayıq; onıń normal belgili baģıtqa iye bolsın . sol element arqalı sheksiz kishi waqıt aralıģı dawamında ótken jıllılıq shaması dı esaplayıq. Jıllılıq deneniń yaki ortalıqtıń temperaturası joqarı bolģan jerlerden temperaturası pás jerlerge qarap tarqaladı hám bul tarqalıw, temperatura qansha tez kemeye, sonsha tez baradı. Ádette joqarıdaģı jıllıqtıń elementar shaması ke, ģa hám ge proportsional dep qabıl qılınadı. Proporcionallıq koefficentin (usı jeri ushın “ishki jıllılıq ózgeriwsheńlik koefficentin”) menen belgilep , baylanıstı jaza alamız. Jıllılıq shaması teris bolģanda, yaģnıy baģıtında temperatura kemeygende oń boladı; bul joqarıda aytılģanga sáykes keledi.
   

Eger jıllılıq aģımınıń vektorı dep atalıwshı vektorın kiritsek, ushın shıģarılģan ańlatpanı qısqaraq

kórinisinde jazıw múmkin.