Сиз программалаштириш

Ньютон усули.
нуқта функцияга минимум берувчи нуқта бўлиши учун шу нуқтада берилган функциянинг градиенти нолга тенг бўлиши керак, яъни . Шундай қилиб, функцияга минимум берувчи нуқта мавжуд бўлса, у нуқта тенглмалар ичидан топилар экан.Фараз қилайлик, нуқта тенгламанинг тақрибий ечими бўлсин. функцияни нуқта атрофида Тейлор қаторига ёямиз:
(1)
Бу ёйилмада 1-иккита қушилувчи билан чегараланиб, қуйидаги тенгламани ҳосил қиламиз

Бундан қуйидаги муносабатни ҳосил қиламиз:
(2)
Ньютон усули (2) дан фойдаланиб, қуйидаги рекуррент формула орқали
(3)
кетма-кетликларни аниқлашдан иборатдир: бўлгани учун бўлиб, (3) формула қуйидаги кўринишда ёзилади:
(4)
Агар дастлабки танланган нуқта функцияга минимум берувчи нуқта га етарлича яқин бўлса, (4) формула билан аниқланадиган кетма-кетлик га яқинлашувчи бўлади ва қўйилган хато га нисбатан 2-тартибли чексиз кичик миқдор бўлади. Ҳақиқатан ҳам (1) дан қуйидагига эга бўламиз:

Бу ерда ва деб қуйидагини ҳосил қиламиз:
(5)
(5) дан (3) ни айириб, қуйидагига эга бўламиз:


(6)

Энди (6) дан ни ҳосил қиламиз. Бу ерда деб белгиласак, қуйидаги тенгсиликлар келиб чиқади:

ёки ,
Бу эса к- қадамдаги хато (к-1) - қадамдаги хатога нисбатан 2-тартибли кичик миқдор эканлигини билдиради. Демак, Ньютон усулининг аниқ ечимга яқинлашиш тезлиги 2-тартибли экан. Ньюьон усули бўйича ҳисоблаш олдиндан берилган сон учун
тенгсизлик бажарилгунчга қадар давом эттирилади.


Чизиқсиз тенгламалар системасини ечиш учун Ньютон усули
Фараз қилайлик, чизиқсиз тенгламалар системаси нинг к – қадамдаги тақрибий ечими бўлиб, - қадамдаги тақрибий ечими ни Ньютон усулида топиш талаб қилинган бўлсин.
Бу масалани ечиш учун ёки белгилашларни киритамиз ва функцияларни даражалари бўйича Тейлор қаторига ёйиб, 1-ҳосила қатнашган ҳадлари билан чегаралансак,

тенгламалар системасини ҳосил қиламиз. Бу тенгламалар системасини қуйидаги ёзиш мумкин:

ва уни матрица кўринишда ёзсак,
(7)
=- (8)

Энди деб белгиласак, (7) дан - қадамдаги тақрибий ечимни топиш учун қуйидаги формулага эга бўламиз:

(8¹)
(8¹) ифода чизиқсиз тенгламалар системасининг тақрибий ечимини топиш учун Ньютон формуласи дейилади. Ньютон усулининг кейинги модификацияси қуйидагичадир: (8¹) даги функцияларнинг ҳосилаларидан тузилган матрицанинг элементлари фақат дастлабки тақрибий ечим бўлган нуқта ҳисобланади. Бу эса (8¹) билан тақрибий ечимларни ҳисоблашда сарфланадиган арифметик ҳисоблашлар сонини анча камайтиришга имкон беради.