Сиз программалаштириш

Кескин пасайиш усули. Бизга (9) чизиқсиз тенгламалар системаси берилган бўлсин. Қуйидаги функцияни киритамиз:
(17)
(9) ни қаноатлантирадиган Х вектор функцияга минимум берувчи нуқта ва, аксинча, функцияга минимум берувчи ҳар қандай нуқта (9) нинг ечими эканлиги маълум. Шунинг учун (9) нинг ечимини топиш ўрнига (17) функциянинг минимумини топиш кифоядир. Фараз қилайлик системанинг аниқ ечими Х га нисбатан дастлабки тақрибий ечим бўлсин. Агар Х га яқин бўлса, тенглама эллипсоидга ўхшаган бирорта сирт юзасини билдиради. Бу сирт сатҳига О нуқтадан уринма ўтказамиз ва уриниш нуқтасини билан белгилаймиз. Бу нуқтадан нормал ўтказамиз ва бу нормални 2-чи бир сирт юзаси билан кесишгунча давом эттирамиз. Кесишиш нуқтасини билан белгилаймиз. Худи шу усул билан давом этиб, сирт юзаларини ва … нуқталарни ҳосил қиламиз. Бу ерда бўлганлиги учун процессни давом эттириб, функцияга минимум қиймат берувчи нуқтани топамиз. Бу нуқта эса берилган (9) тенгламалар системасининг ечими бўлади.

деб белгиласак, изланаётган ечим қуйидаги итерация формула орқали топилади:
(18)
Бу формула ҳозирча номаълум кўпайтувчидир. Бу номаълумни топиш учун ушбу
(19)
скаляр функцияни қараймиз. функция нуқтадан функциянинг сирт юзасига ўтказилган нормал бўйича функция юзасининг ўзгаришини билдиради. Сирт юзаси қанча кичик бўлса, биз топишимиз керак бўлган ечимга шунча яқин келган бўламиз. Шунинг учун функция минимуми мавжудлигининг 1-тартибли зарурий шарти қуйидаги ифодадан топилади:
(20)
(19) ни (20) га асосан қуйидагича ёзамиз:
(21)
функцияларни нинг даражалар бўйича Тейлор қаторига ёйиб, дастлабки иккита қўшилувчи билан чегараланамиз, яъни

Буни (21) га қўямиз:
(22)
Бу ерда қуйидаги = вектор сатрдир. (22) ни (20) қўйсак қуйидаги тенгламани ҳосил қиламиз:

Бу тенгламадан ни топамиз:
(23)
(17) дан қуйидаги тенгламани ҳосил қиламиз:

Демак, . Буни (23) ва (17) га қўямиз:


Бу формулалар чизиқсиз тенгламалар системасининг ечимини топишда қўлланила-диган кескин пасайиш усулининг формулалари дейилади. Бу формулалар орқали чизиқсиз тенгламалар системасининг тақрибий ечимларини ҳисоблашда қўлланиладиган ариф-метик амаллар сони Ньютон ва итерация усулларига нисбатан анча кўпдир. Бироқ, бу усул Ньютон ва итерация усулига қараганда маълум афзалликларга эга. Бу усул дастлабки тақрибий ечим ихтиёрий бўлганда ҳам яқинлашувчи бўлади. Шунинг учун, кескин пасайиш усули чизиқсиз тенгламалар системасини ечишда энг умумий усул ҳисобланади.