Сиз программалаштириш

Итерация усули

Бизга қуйидаги

ёки (9)
чизиқсиз тенгламалар системасининг ҳақиқий ечимини топиш талаб қилинган бўлсин. Фараз қилайлик, бу системанинг ҳақиқий ечими бирорта қавариқ G соҳада мавжуд бўлиб, бўлсин. (9) системани қуйидагича ёзиш мумкин:
ёки (10)
Агар дастлабки тақрибий ечим бўлса, 1-, 2-, ва . . . қадамдаги тақрибий ечимлар қуйидагича аниқланади:
(11)
Агар бу итерация яқинлашувчи, яъни
(12)
бўлса, (10) системанинг ечими бўлади. Ҳақиқатан ҳам, (11) дан бўлиб, (12) га асосан қуйидагича бўлади:
(13)
Бу эса (10) системанинг ечими билдиради. Энди (9) системани (10) кўринишда ёзиш мумкин эканлигини кўрсатамиз. Агар (10) да
(14)
бўлса, келиб чиқади ва бу тенгламанинг (9) тенглама Билан тенг кучли эканлигини кўриш қийин эмас. (14) даги ҳозирча номаълум ни шартдан топамиз. У ҳолда қуйидагича бўлади:
(15)
(14) ва (15) ни (11) га қўйиб, ни ҳосил қиламиз. Бу формула модификациялашган Ньютон усули бир хил экан,деган хулосага келамиз.
Энди итерация усулининг аниқ ечимга яқинлашиш тезлигини исботлаймиз. Бунинг учун п ўлчовли фазода қуйидаги нормаларни киритамиз:

векторнинг компонентлари бўлган функциялар бирорта қавариқ G соҳада аниқланган ва узлуксиз бўлиб, шу соҳадаги ихтиёрий векторлар учун қуйидаги тенгсизлик бажарилса,
(16)
қуйидаги теорема ўринлидир.
Теорема. Агар функция (16) шартни қаноатлантирса, ихтиёрий танлаб олинган дастлабки тақрибий ечим учун итерацион процесс яқинлашувчи бўлиб, (12) каби ифодаланади. Лимит вектор (10) тенгламанинг ягона ечими бўлиб,
тенгсизлик ўринлидир.
Градиент усуллар
Таъриф. п ўлчовли фазода берилган функциянинг нуқтадаги градиенти деб, чекли орттирманинг чизиқли қисмига айтилади, яъни .
Градиентнинг физик маъноси қуйдагича: нуқтадан ҳаракат йўналиши танланади. нуқта тўғри чизиқ бўйлаб ҳаракат қилганлиги учун вақтнинг чизиқли функциясидан иборат бўлади, яъни функция вақт бўйича қуйидаги қонун бўйича ўзгаради, вақтдаги тезлик
.
Бу тенгликдан функциянинг йўналиши бўйича ўзгариш тезлиги га тенг эканлиги келибчиқади.
Демак, функциянинг бирор нуқтадаги градиенти шу функциянинг нуқтадан тез ўсиш йўналишини билдиради. Антиградиент функциянинг нуқтадан тез камайиш йўналишини кўрсатади.