«Симметрические уравнения, системы. Их методы решения.»

Симметрические многочлены от двух переменных

1. 
   Примеры симметрических многочленов
   

Наверняка многие из вас не удивятся, увидев следующие системы:
1) 2)
3) 4)

Эти являются простыми примерами систем уравнений высших степеней. Важной особенностью всех этих систем является то, что те части уравнения, где стоят и y, являются многочленами, и x, и y входят в них одинаковым образом! Именно для таких систем будет применим нижеизложенный метод.

Прежде всего, дадим понятие симметрического многочлена:
О1. Многочлен от двух переменных (x и y) называется симметрическим, если он не изменит своего вида при замене одной переменной другой (x на y,а y на x).
Простые примеры: многочлен – симметрический (согласно определению). Но не является симметрическим. Докажем это: при замене x на y,а y на x он превратится в многочлен , который не совпадает с первоначальным.
Приведем примеры очевидных симметрических многочленов:
1) Для любых x и y многочлен будет симметрическим
2) Для любых x и y многочлен будет симметрическим
Эти многочлены являются самыми простыми. Это часто называют элементарными симметрическими многочленами. Для них вводят специальные обозначения:
, .
(Для более простой записи также используют обозначения , ). Очевидно, что с этими многочленами можно выполнять любые действия. Поэтому кроме и , нам часто будут встречаться степенные суммы: имеющие вид в общей формуле . Степенные суммы выражаются через элементарные симметрические многочлены.

2. 
   Основная теорема о симметрических многочленах от двух переменных
   

Возьмем любой многочлен от и и подставим в него вместо и их выражения через x и y. Но ни , ни ведь не меняются при перестановке местами x и y, а поэтому не меняется и весь многочлен, выражавшийся через и . К примеру, возьмем произвольный многочлен от и : , и докажем, что он является симметрическим:
(1)
Итак, мы предполагаем, что если взять любой многочлен от и и подставить вместо и их выражения соответственно, то получится симметрический многочлен от x и y. Но можно ли с помощью данного приема получить любой симметрический многочлен? (т.е. любой ли симметрический многочлен представим в виде многочлена от и ). Возьмем, например, симметрический многочлен и докажем для него справедливость нашего предположения: Рассмотрение множества примеров делает это предположение вероятным. Таким образом, какой бы симметрический многочлен мы не взяли, его удастся выразить через элементарные симметрические многочлены. Данные рассуждения наталкивают нас о справедливости следующей теоремы:
Теорема 1. Любой симметрический многочлен от x и y можно представить в виде многочлена от и
Но одних примеров для доказательства, конечно же, недостаточно. Далее изложим доказательство данной теоремы. Проведем его в два этапа.

3. 
   Выражение степенных сумм через и
   

То есть докажем данную теорему для частного случая: степенных сумм.
Лемма. Каждую степенную сумму можно представить в виде многочлена от и .
Доказательство. Рассмотрим сначала некоторые из сумм (стр.27, таблица 1):

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   

и т.д.
Теперь стоит доказать для общей формулы . Возьмем степенную сумму и умножим обе части на . Получаем:
(2)
А поскольку мы знаем справедливость теоремы для , , , то из формулы (2) вытекает справедливость нашего утверждения
!Замечание: c помощью данной формулы мы можем последовательно находить выражения степенных сумм через и : зная и , можем найти и т.д. Иными словами, мы получили рекуррентную форму записи .
Лемма доказана.

4. 
   Доказательство основной теоремы
   

Докажем основную часть теоремы. Очевидно, что любой симметрический многочлен содержит в себе слагаемые двух типов.
Во-первых, это одночлены вида , то есть в которые x и y входят одинаковым образом. Очевидно, что .
Во-вторых, это одночлены вида . Но так как многочлен является симметрическим, то он содержит и одночлен . То есть в многочлен входит двучлен типа . Возьмем для определенности, что ; тогда представим этот двучлен следующим образом:

Но по лемме (пункт 3), степенная сумма представляется в виде многочлена от и , поэтому и рассматриваемый двучлен выражается через и .
Таким образом, теорема полностью доказана.
Пример. Пусть дан симметрический многочлен

Докажем справедливость теоремы.
Приведем подобные: