Shuniunutmasligimizkerakki, kelajagimizpoydevoribilimdargohlaridayaratiladi, boshqachaaytganda, xalqimizningertangikuniqandaybo‘lishifarzandlarimizningbugunqandayta’limvatarbiyaolishigabog‘liq

Misol. integral hisoblansin.
Yechish. desak bo’lib, (33.2) formulaga binoan kelib chiqadi.
III BOB. FUNKSIYALARNI INTEGRALLASH
3-1§. Ratsional funksiyalarni integrallash
Ikki ko’phadning nisbati kasr-ratsional funksiya yoki ratsional kasr deyiladi:
.
Agar bo’lsa, u holda ratsional kasr to’g’ri, bo’lganda ratsional kasr noto’g’ri kasr deyiladi
ratsional kasr noto’g’ri kasr bo’lganda kasrning suratini uning maxrajiga bo’lib kasrni

ko’rinishga keltiriladi, bunda -ko’phad, to’g’ri kasr.
Ushbu

to’g’ri ratsional kasrni qaraymiz. Kasrning maxraji
ko’rinishdagi ko’paytuvchilarga ajratishdan foydalanib ratsional kasrni elementar kasrlar yig’indisi shaklida yoziladi.


To’g’ri ratsional kasrning eng sodda ratsional kasrlar yig’indisiga yoyilmasida A_i , B_i koeffitsientlarni aniqlash uchun turli xil usullar mavjud. Ulardan noma‘lum koeffitsientlar usuli bilan misollarda tanishamiz.
Misol. integralni hisoblang.
Yechish. Integral ostidagi funksiya kasr-ratsional funksiya bo’lib, u noto’g’ri kasrdir. Bu kasrning suratini uning maxrajiga bo’lib kasrning butun qismini ajratamiz:
_
_


Endi to’g’ri kasrni eng sodda ratsional kasrlarga yoyamiz:
(a)


Bu yerdagi bir xil darajalix lar oldidagi koefitsiyentlarni tenglashtirib

sistemaga ega bo’lamiz. Sistemani yechib ekanini topamiz. Noma’lum koefitsiyentlarning topilgan qiymatlari (a) qo’yib quyidagini hosil qilamiz.

Demak,


bo’ladi.
3-2§. Trigonometrik funksiyalar qatnashgan ifodalarni integrallash
ko`rinishdagi integrallarni almashtirish orqali
ratsional funksiyalarning integrallariga keltiriladi.
Bizga ma`lumki,

Bu belgilashlardan so’ng integralimiz ratsional kasrga keladi.