|
I BOB. CHEGARAVIY MASALALAR 1.1. Chegaraviy masalalarning qo`yilishi
Biz birinchi va yuqori tartibli oddiy differensial tenglamalar uchun Koshi masalasi qo‘yilishini o‘rganganmiz. Endi xuddi shu tenglamalar uchun chegaraviy masalalarning qo‘yilishini o‘rganamiz. Koshi masalasining geometrik ma’nosi berilgan nuqtadan o‘tadigan integral chiziqni izlashdan iborat. Shu interal chiziq yana boshqa shartlarni qanoatlantiradimi yoki yo‘qmi, bu bizni qiziqtiradi.
Agar intervalda aniqlangan funksiya differensial tenglamaning ushbu
, , ..., , (1.1.1)
shartni qanoatlantiradigan yechimi bo‘lsa, tenglamaning shu yechimi yana
, , ..., , , (1.1.2)
shartni qanoatlantiradimi?, degan savol tug‘iladi. Bunda funksiyaning aniqlanish sohasi ochiq to‘plamdan iborat bo‘lib, , shartlar albatta bajariladi.Aks holda qo‘yilgan savolning ma’nosi bo‘lmaydi.
Savolga javob berish uchun (1.1.1) shart bilan to‘la aniqlangan ma’lum funksiya va uning hosilalarini nuqtada hisoblab, (1.1.2) shartni tekshirish lozim. Savol doim yuqoridagi kabi qo‘yilmasligi ham mumkin. Noma’lum funksiya va hosilalarining va nuqtalardagi qiymatlaridan tuzilgan ta munosabat bajarilishini talab etish ham mumkin. Shu munosabat bilan quyidagi masalani qo‘yamiz.
Chegaraviy masalaning qo‘yilishi: agar ushbu
(1.1.3)
tenglama va
(1.1.4)
munosabatlar berilgan bo‘lsa, (1.1.3) tenglamaning shu (1.1.4) munosabatlarni qanoatlantiradigan yechimini izlash chegaraviy masala deyiladi. Bu masala Koshi masalasiga qaraganda umumiy bo‘lib, undan bo‘lganda Koshi masalasi kelib chiqadi. Agar bo‘lib,
(1.1.5)
bo‘lsa, ikkinchi tartibli tenglamaning integral chizig‘i boshlang‘ich va tugal shartni qanoatlantirishi lozim bo‘ladi. Yana agar bo‘lib
(1.1.6)
bo‘lsa, bu ham tez-tez uchraydigan chegaraviy shartidan iborat. Ba’zi hollarda yechim davriyligining chegaraviy sharti deb yuritiladi. Va ( )
(1.1.7)
ko‘rinishdagi shart ham uchraydi.
1.1.1-misol. Absissa o‘qi bo‘ylab uning musbat yo‘nalishida harakat qilayotgan ob’yekt (nuqta) I chorakda harakat qilishi mumkin bo‘lgan nuqta tomonidan quvlanishi kerak. Quvlovchining tezligi , qochuvchiniki esa . Agar bo‘lsa, chekli vaqtda quvlovchi qochuvchini quvib yetishi kerak. Quvlovchining differensial tenglamasi esa
(1.1.8)
ko‘rinishda. Agar , , desak, chegaraviy masalaga (quvlovchi uchun) kelamiz. (1.1.8) tenglamaning umuniy yechimi
bo‘lgani uchun chegaraviy shartlardan , kelib chiqadi. Demak,
yechim chegaraviy masala shartlarini qanoatlantiradi.
Bir jinsli chegaraviy masala. Chegaraviy masala yechimining mavjudligi va yagonaligi muhim rol o‘ynaydi. Bu mavzuga tegishli ba’zi ma’lumotlarni bayon etish uchun (1.1.4) munosabatlarda funksiyalar o‘z argumentlariga nisbatan chiziqli shakldan iborat bo‘lgan holni qaraymiz. Aniqrog‘i funksiyalar quyidagi
(1.1.9)
(bunda - o‘zgarmas) ko‘rinishda bo‘lsin. Agar ( ) bo‘lsa, qo‘yilgan masala bir jinsli chegaraviy masala deyiladi. Agar bo’lsa, u bir jinsli bo‘lmagan masala bo‘ladi.
tartibli chiziqli bir jinsli
(*)
tenglama (1.1.9) chegaraviy shartlardan berilgan bo‘lsin, (*) va (1.1.9) munosabatlarni bo‘lganda qanoatlantiradigan funksiyani topish masalasi (*) tenglama uchun bir jinsli chegaraviy masala deyiladi.
Ravshanki, har bir bir jinsli chegaraviy masala kamida bitta trivial yechimga, ya’ni , yechimga ega. Ammo bir jinsli chegaraviy masala trivial bo‘lmagan yechimlarga ham ega bo‘lishi mumkin. Shu munosabat bilan quyidagi teoremani keltiramiz.
1.1.1-teorema. Agar , funksiyalar (*) tenglamaning chiziqli erkli yechimlari bo‘lsa, u holda , masala trivialmas yechimga ega bo‘lishi uchun
(1.1.10)
determinantning nolga teng bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. Teoremaning shartiga ko‘ra funksiyalar oraliqda chiziqli erkli yechimlar. Shuning uchun bo‘lganda (*) tenglamaning barcha yechimlari
formula bilan beriladi. Jumladan, , shartni qanoatlantiruvchi yechimi han shu formula bilan beriladi. Shu sababli
, (1.1.11)
munosabatlarga egamiz, ya’ni
yoki
(1.1.12)
Endi bir jinsli tenglama bir jinsli chegaraviy shartni qanoatlantiradigan trivialmas yechimga ega deylik. Unda bo‘ladi. Shuning uchun (1.1.12) dan , o‘zgarmaslar topiladi. Demak, ushbu funksiya trivialmas bo‘lib, bir jinsli chegaraviy masala shartlarini qanoatlantiradi. Teorema isbotlandi.
1.1.1-eslatma. Agar chegaraviy shartdan , bo‘lsa, u holda bir jinsli chegaraviy masala trivialmas yechimga ega; agar ( ) matrisa rangi ( ) ( ) bo‘lsa, u holda bir jinsli chegaraviy masala larga nisbatan qat’iy ( ) ta chiziqli erkli yechimga ega bo‘ladi. Bu tasdiqlarning isboti ravshan.
1.1.2-eslatma. ( ) matrisaning rangi fundamental sistema ni tenglashga bog‘liq emas. Haqiqatan, bir fundamental sistemadan ikkinchi fundamental sistemaga o‘tish chiziqli almashtirish yordamida, ya’ni ushbu
,
formula bilan amalga oshiriladi, bunda lardan tuzilgan determinant noldan farqli. Almashtirish natijasida ( ) matrisa ( ) matrisaga ko‘paytiriladi. Shuning uchun ( ) matrisaning rangi o‘zgarmaydi. ( ) matrisa rangi chegaraviy masala rangi deyiladi.
Bir jinsli chegaraviy masala uchun Grin funksiyasi. Differensial ifoda quyidagi ko‘rinishda bo‘lsin:
(1.1.13)
Do'stlaringiz bilan baham: | 
