Sh. Ismailov, A. Qo’chqorov, B. Abdurahmoi

к +1

2 • (к +1) (к + 2)

1_

^А1 +-L

к +1

= 2 ••

к+1

■ук+1

к +1

J

V

г 1 \^к

к +1 (к +1) • к 1

¹ )^к+1 = 1 +

(1 +

> 2.

+... +

к +1

к +1

(к +1)²

>0

к +1

к +1

v ^к +¹


'к + 2^^к+¹


(1 + —/+¹ <¹ ^ 2-


< 2 •¹ = 1 . 2

^гк + 2^ ^к+¹

^гк + ^ ^к+¹

•
<
1 =

v ² J V ² у

Matematik induktsiya printsipiga asoslanib, ixtiyoriy n > 2 natural son uchun

1. 
   tengsizlik bajariladi deb xulosa qilamiz.
   
2. 
   tengsizlikni isbotlaymiz.
   

Induktsiya bazasi. n = 3 da:

3. 
   tengsizlikning chap tomoni: 3! = 6 = V36 ;
   

3

3. 
   tengsizlikning o’ng tomoni: 3² = л/27 . л/36 < л/27 demak, induktsiya bazasi isbot bo’ldi.
   

к

Induktiv o’tish. n = к da к! > к², к > 3 tengsizlik to’g’ri deb faraz qilamiz.

к +1

n
к +1
= к +1 da (к +1)! > к ² , к > 3 tengsizlik bajarilishini isbotlash kerak.

1
к +1

(к +1) ² к +1 (к + 1)~

= (к +1)

>

(к +1)! = к!• (к +1) > к² • (к +1)

(6) masalada nⁿ > (n +1)ⁿ, Vn > 3 tengsizlik isbotlangan edi. Bu tengsizlikdan

n+1 n

kelib chiqadi: n ² > (n +1)², Vn > 3. U holda n = k da

k1

• 
  (k +1)2 * (k +1)2 — 1 ¹ —
  

• 
  (k + 1)² * ^{( 1)} ( i = (k + 1)² * (1 + -)² > (k + 1)² .
  

(k+1)² • k² —^

Matematik induktsiya printsipiga asoslanib, ixtiyoriy n > 3 natural son uchun (3) tengsizlik bajariladi deb xulosa qilamiz.

3. 
   tengsizlikni isbotlaymiz.
   

Induktsiya bazasi. n = 3 da:

3. 
   tengsizlikning chap tomoni: 3! = 6 = ;
   

3. 
   1
   

3. 
   tengsizlikning o’ng tomoni: 2 = 4. 6 > 4 demak, induktsiya bazasi isbot bo’ldi.
   

Induktiv o’tish. (4) tengsizlik n = k da bajariladi deb faraz qilamiz: k! > 2^k _¹, Vk > 3. n = k +1 da (k +1)! > 2^k+¹_¹, k > 3 tengsizlik bajarilishini isbotlash kerak.

(k +1)! = k!* (k +1) > 2^k_¹ * (k +1) = 2^k *^ > 2^k, k > 3 .

>1

Matematik induktsiya printsipiga asoslanib, ixtiyoriy n > 3 natural son uchun (4) tengsizlik bajariladi deb xulosa qilamiz.

4. 
   tengsizlikni isbotlaymiz.
   

f
1Y f 11

Induktsiya bazasi. n = 1 da: — < 1! < e — . Induktsiya bazasi isbot
1 V f - ^

• 
  1! < e
  

2

bo’ldi.Г к Л^к f к Л^к f к + О^к+¹ ^ ^1г ' ^{1 л}'^к+¹

V ^e у

^г к +1 Y+¹ (к +1) • к^к • e^k+¹ f к + О^к+<sup>1

г</sup>к + 1^{Л к}+<sup>1

г</sup>к+О^к+<sup>1

г</sup> к Л^к+¹ f к + О