V12 n J 12 n i j
1j
+ an + (a^ + a^^.) = n(a1 + a2 +... + an).
1j
Eslatib o’tamiz, K (a) = A(a) tenglik faqat a1=a2 =... = an o’rinli bo’ladi.
1-misol.
H (a) > min{a1, a2,..., an} va max{a1, a2,..., an} > K(a) tengsizliklarni
isbotlang.
Yechimi: Umumiylikni chegaralamagan holda
min{a1, a2,..., an}= a1, max{a1, a2,..., an}= an deb hisoblash mumkin. U holdaI
гг/ , " "
H(a)= -1 . -1 .——1 > -1 . -1 .——г = a1
K(a)
a1 + a2 +.
|
.. + a
n
|
>
1
|
a1 + a1 +.
|
.. + a1
|
1 2 2 j a1 + a2 +..
|
. + a2
|
• <
|
Ia2 + a" +..
|
. + a" —
|
n \ n
zoh 1. yuqoridagi misollardan
max{a1, a2,..., an} >K(a) >A(a) > G(a) >H (a) >min{a1, a2,..., an} ekanligi kelib chiqadi.
misol. 3 (a2 + b2 + c2) > (a + b + c)2 tengsizlikni isbotlang.
Yechilishi:
3a + 3b + 3c > a + b + c 2ab + 2bc + 2ac ^ a2 + b2 + c2 > ab + bc + ac ^(a - b)2 +(b - c)2 +(c - a)2 > 0.
misol. 6 (a2 + b 2 )a2 + b2 + c2) >( a + b )2 (a + b + c )2 tengsizlikni isbotlang.
Yechilishi:
(a2 + b2 )(a + b )2 2
x< ^ 2a2 + 2b2 > a2 + b2 + 2ab ^ (a -b) >0.
(a2 + b2 + c1) > (a + b + c )2
(2 + b2) 2 + b2 + c2) > (a + b)2 (a + b + c)2.
Misollar
Agar a, b, c > 0 va a + b + c — 1 bo’lsa, u holda quyidagi tengsizlikni isbotlang:
■\Ja + (b-c)2 +yjb + (a-c)2 +^c + (a-b)2 ^V3.
Agar a, b, c > 0 bo’lsa, u holda quyidagi tengsizlikni isbotlang:
a3 + b3 + c3 8abc
a 2b + b2 c + c2 a (a + b )b + c )(a + c)Agar a, b, c e R bo’lsa, u holda quyidagi tengsizlikni isbotlang:
(a \ b)4 \ (b \ c)4 \ (a \ c)4 > -4- (a4 \ b4 \ c4).
Agar x, y, z > 0 va x \ y \ z — 3 bo’lsa, u holda quyidagi tengsizlikni isbotlang:
л/x \ -yjy \ yfz > xy \ xz \ yz.
Agar a, b, c > 0 va a2 \ b2 \ c2 — 1 bo’lsa, u holda quyidagi tengsizlikni
isbotlang:
bc ac ab 5
\ r\ > .
a - a b - b c - c 2
§4. Umumlashgan Koshi tengsizligi.
T
(1)
eorema. a1, a2an,p1, p2pn - musbat sonlar bo’lsin. ap1 ap2...aPn <
12 n
v P1 \ P2 \ ... \ Pn J
ekanligini isbotlang, tenglik esa faqat a1= a2 =... = an da bajariladi.
a,p, \a2p2 \...\a p
Isboti: s =—^ belgilash kiritamiz.
px \ p2 \... \ pn
ex-1 > x ( x>1) tengsizlikka ko’ra s e(a‘ 1^s> at, i=1, 2,..., n.
Bu tengsizliklarni barchasini ko’paytirib chiqamiz:
a*ap2 ...apn < sp1 -p2^pn
12 n
p1 \ p2\...\pn
■p1+ p2+- + \n
exp
s
T
an da bajarilishi esa 1-masaladagidek
englik faqat s =a1=a2 isbotlanadi
./ \p1+Pi+...+Pn
a1A + a2 p2 + ... + a,pn
af1 a2p2...aPn <
12 n
px + p 2 + ... + p, J
Misol. Quyidagi tengsizlikni isbotlang:
v
л8
3
> a3b16 c18.
a2 + 4b4 + 3c
8
Yechilishi: Koshi tengsizligining umumiy holiga ko’ra p ning o’rnida 3 kelyapti.
p q
p2 q2
x
p+q
2
e R; p,q eQbo’lsa, sinp x*cosq x < ni isbotlang.
(p+q
12
2)
2
2 i 2 2 a b c
~r + T + —; b c a
ab + bc + ac
3) a, b, c > 0 bo’lsa,
> 7 isbotlang.
)f 3a2 + 4b3 + 5c 12
> a 6b12 c20
v a2 + b2 + c2 у
>л/б+ 2
5) a, b, c > 0bo’lsa, isbotlang.
b
a
a + b b + c a + c л lab + bc + ac + + + 2,
a2 + b2 + c2
§5. Umumlashgan Yung tengsizligi.
Teorema.
a1} a2 ar" a1 a2...a < — + — +... + —— (2)
r1 r2 r
ntengsizlik urinli, bu yyerda a1, a2,..., an, r1, r2, ..., rn lar musbat sonlar, jumladan,
11 1 —!
—\ \... \— — 1.
Г1 Г2 rn
Isboti: 5-masaladagi (1) tenglikda at ni ar' ga , r ni esa 1/r (i=1, 2, ..., n) ga almashtirib
ar1 ar2 arn a1 a2...an <\...ni olamiz.
r1 r2 rn
Izoh. n=2 holida esa Yung klassik tengsizligiga ega bo’lamiz:
—ap \1 bq > ab ( a> 0 , b> 0), (3)
p q
bu yyerda p, q sonlar — \1 — 1 tenglikni qanoatlantiruvchi musbat sonlar.
p q
ab bc ca
misol. Agar a, b, c > 0 va ab \ bc \ ac — abc bo’lsa, abc < \ \
b c a
Yechilishi: Shartga ko’ra ab \ bc \ ac — abc ^\\1 — 1
abc
ab bc ca
abc < \ \ tengsizlik Yung tengsizligining xususiy holidan kelib
b c a
chiqadi.
misol. Agar a, b, c > 0 bo’lsa, 18a3 \ 12b4 \ 6c6 > 36abc ni isbotlang.
Yechilishi: 18a2 \ 12b3 \ 6c6 > 36abc tengizlikni ikkala tom on ini 36 ga
a2 b3 c6 11 1
bo’lamiz \ \ > abc;—\ \ ... \— — 1 bo’lsa, Yung tengsizligi o’rinli.
2 3 6 r r2 r
Do'stlaringiz bilan baham: |