к-5
|
5
|
55
|
f 5 Л
|
|
—
|
|
— =
|
|
—
|
5!
|
V6
|
|
6
|
5!
|
V6 J
|
<
к+1-5
Matematik induktsiya printsipiga asoslanib ixtiyoriy n > 6 natural son uchun (8) tengsizlik bajariladi deb xulosa qilamiz.
masala. Ixtiyoriy n natural son uchun
sin кх| < к |sin x |, (9)
tengsizlik o’rinli bo’lishini isbotlang
.Induktsiya bazasi. n = 1 da: |sin1x| < 1 • |sin x|. Induktsiya bazasi isbotlandi. Induktiv o’tish. n = к da |sin Ax| < к|sin x|tengsizlik bajariladi deb faraz qilamiz. ^т(к +1)x| < (к + 1)|sin x| tengsizlik bajarilishini isbotlash kerak.
^т(к +1) x| = |sin кх cos x + sin x cos Ax| < |sin Ax| • |cos x + sin x |cos Ax| <
<к| sin x <1 <1
Matematik induktsiya printsipiga asoslanib, ixtiyoriy n natural son uchun (9) tengsizlik bajariladi deb xulosa qilamiz.
masala. Ixtiyoriy n natural son uchun
+... + > 1, (10)
n +1 n + 2 3n +1 tengsizlik o’rinli bo’lishini isbotlang.
S, = —1—^ 1 +... + 1— deb belgilab olamiz.
к к +1 к + 2 3к +1
Induktsiya bazasi. n = 1 da: S = ——I—1—+... + 1— =13 > 1.
1 +1 1 + 2 3-1 +1 12
Induktsiya bazasi isbotlandi.
Induktiv o’tish. n = к da Sk =—1—! 1 +... + 1— > 1 tengsizlik
к +1 к + 2 3к +1
bajariladi deb faraz qilamiz.
1111,
S1+1 = + +... + + + + > 1
к+1 к + 2 к + 3 3к +1 3к + 2 3к + 3 3к + 4
tengsizlik bajarilishini isbotlash kerak.
1 1 1 1 f 1 1 л
S =
к
к +1 к +1
+1 к + 2 к + 3 3к +1 3к + 2 3к + 3 3к + 4
= + 1 + 1 + + 1 + 1 + 1 + 1 1_ > 1
= к + 1 + к + 2 + к + 3 + ". + 3£ + 1 + 3k + 2 + 3£ + 3 + 3k + 4_ k + 1 > .
>(AnГ 1 +(4,)" a —(A) n-(4, +a) — (a.) n *4,,. 8
a,p, \a2p2 \...\a p 19
px \ p2 \... \ pn 19
гк + ^ к+1 32
p q 55
masala. x4 + y4 + z4 > xyz(x + y + z) tengsizlikni isbotlang, bu yerda x, y, z - musbat sonlar.
Yechilishi. 1-masalaga ko’ra:
x4 + y4 + z4 = (x2)2 + (y2)2 + (z2)2 > x2y2 + y2z2 + x2z2 ga egamiz. Bu yerdan esa
о о о о о о
x y + y z + xz > xyyz + yzzx + zxxy = xyz (x + y + z) ni olamiz.
masala. x4 + y4 + z4 + u4 > 4xyzu tengsizlikni isbotlang, bu yerda x, y, z, u - musbat sonlar.
Л Л OO/l Л oo
Yechilishi. x + y> 2 xy, z + u> 2 z u ga egamiz. Demak,
Л Л Л Л oo oo о о о о
x + y + z + u > 2x y + 2 z u . Bundan tashqari x y + z u > 2xyzu . Demak, x4 + y4 + z4 + u4 > 4xyzu .
masala. -2(x + y)2 + 4(x + y) > xyfy + yjx tengsizlikni isbotlang, bu yerda x, y - musbat sonlar.
Yechilishi. Birinchidan, 2 (x + y )2 + 4 ( x + y) = 2( x + y)(x + y + -2).
Ikkinchidan, x + y >Jxy , x + y +1 = x +1 + y +1 > л/x + л/y .
2 4 4
Demak, -2(x + y)2 + 4(x + y) = yjxy (^/y + Vx) > x^ + yVx .
masala. x > 0, y > 0 va x + y = 2 bo’lsin. x2 y 2( x2 + y2) < 2 tengsizlikni isbotlang.
Aniqlik uchun x = 1 + s, y = 1 -s, 0 1 deb olamiz. U holda x2 y 2( x2 + y2) = (1 - s)2(1 + s)2((1 - s)2 + (1 + s)2) = (1 - s2)2(2 + 2s2) =
= 2(1 - s2)(1 - s2)(1 + s2) = 2(1 - s2)(1 - s4) < 2
masala. a va b bir xil ishorali sonlar bo’lsin.
Do'stlaringiz bilan baham: |