Sh. Ismailov, A. Qo’chqorov, B. Abdurahmoi

a b (a + b) a + 10ab + b _л ,

• 
  ekanligini isbotlang.
  

4. 
   12
   

Qachon tenglik bajariladi? ab > 0 ekanligini hisobga olib va Koshi tengsizligidan foydalanib quyidagiga ega bo’lamiz:

_{7 7} a + 2ab + b

r~ (a + b) ^a +^a + 4 a ²+10ab + b²

>(AnГ¹ +(4,)" a —(A)ⁿ-(4, +a) — (a.)ⁿ *4,,. 8

a,p, \a₂p₂ \...\a p 19

p_x \ p₂ \... \ p_n 19

^гк + ^ ^к+¹ 32

p q 55

11. 
    masala. a va b musbat sonlar bo’lsin.
    

a b „ L, _TW1 1₄

л— + л— < 3 ^2(a + ^b)(_ + T⁾

V b V a V a b

tengsizlikni isbotlang.

Yechilishi. Berilgan tengsizlikni kubga ko’tarish va soddalashtirishlardan so’ng quyidagiga ega bo’lamiz:

^ a b_s a b ^ . , , , , a _ a

3(3—+ 3—) < 4 + + —. Koshi tengsizligiga ko ra 1 +1 + — > 33— va

V b M a b a b M b

b b

1. 
   +1 + —> 33— tengsizliklarni olamiz va ularni qo’shib, qidirilayotgan tengsizlikni
   

a M a

olamiz.

2n 1 3n +1

12. 
    masala. < > — < (n e N ) ekanligini isbotlang.
    

3n +1 k=n+1 k 4(n +1)

Yechilishi.

2. 
   ^{n
   > 1 =>} 1 = 1 > ₍1 1 ₎ = 1 > ^
   
   k=n+1 k k=n+13n +1 _ k 2 k=n+1 k 3n +1 _ k 2 k=n+1 k k (3n +1 _ k)
   
   г /о 1 (3n +1) ,3n +1 ₇2\ (3n +1) -1-1 1) k(3n +1 _ k) = ^ (—^ k ) < 4 tengsizlikdan
   
   1. 
      3n +1 4n(3n +1) 2n ,
      
   
   — > > -= ekanligi kelib chiqadi;
   
   2. 
      _kf_n+₁ k (3n +1 _ k) 2(3n +1)² 3n +1
      
   ^{1 2 n 1 12 n 1 1} = 1 > 1 < 3n +1
   
3. 
   
   

2. 
   к(3n +1 - к) - 2n(n +1) = (2n - к)(к - (n +1)) > 0 ( n +1 < к < 2n)
   

. , 1 -in 3n +1 n(3n +1) 3n +1 ,

tengsizlikdan — > < = ekanligi kelib chiqadi.

1. 
   _k=n+₁ к(3n +1 - к) 4n(n +1) 4(n +1)
   

2n 1 3n +1 , _Л7А

Demak < / — < (n e N).

3n +1 k=n+1 к 4( n +1)

AAA О О О О

13. 
    masala. a, b va c musbat sonlar bo’lsin. 2(a + b + c) < (a + b + c) tengsizlik a, b va c faqat biror uchburchak tashkil qilgandagina bajarilishi mumkinligini isbotlang.
    

Yechilishi. Ravshanki, bizning tengsizligimiz a⁴ + b⁴ + c⁴ - 2a²b² + 2b²c² + 2a²c² < 0 tengsizlikka teng kuchli. Oxirgi tengsizlikning chap tomonini almashtiramiz:

a⁴ + b⁴ + c⁴ - 2a²b² + 2b²c² + 2a²c² = a² + b² - c² - 4a²b² =

= (a² + b² - c² - 2ab)(a² + b² - c² + 2ab) = ((a - b)² - c²)((a + b)² - c²) =

= (a - b + c)(a - b - c)(a + b + c)(a + b - c)

Demak, berilgan tengsizlik a, b va c biror uchburchak tashkil qilganda aniq

ravishda bajariladigan ushbu (a - b + c)(a - b - c)(a + b + c)(a + b - c) > 0

tengsizlikka teng kuchli.

Endi faraz qilamiz, bu tengsizlik bajariladi, biroq a, b va c biror uchburchak

tashkil qilmaydi. U holda a - b + c, a - b - c, a + b + c, a + b - c sonlardan kamida

ikkitasi manfiy. a + b - c < 0 va b + c - a < 0 bo’lsin. Bu yerdan masalaning shartiga

zid bo’lgan 2b < 0 tengsizlikni olamiz.

14. 
    masala. b₁, b₂, ..., b_n - a₁, a₂, ..., a_n ketma-ketlikning biror o’rin almashtirishi bo’lsin.
    

(a + i)(a₂ + -1)...(an +1) > 2<sup>n

b</sup>1 ^b2 ^bn

tengsizlikni isbotlang.

Tengsizlikning isboti Koshi tengsizligidan darhol kelib chiqadi:

a + —)(a₂ + —)...(a„ +1)> 2 S...2 & = 0^ = 2”.

¹ V b/ ^{1 n} b/ р1 p₂ Р&.ь

15. 
    masala. x¹⁰ + x⁶ + x⁵ + x³ + x² + x +1 > 0 tengsizlikni isbotlang. Yechilishi. Ravshanki, tengsizligimiz x > 0 da bajariladi, shuning uchun
    

x manfiy bo’lgan qiymatlarni qarash etarli. x <-1 bo’lsin, holda x¹⁰ + x⁵ > 0, x⁶ + x³ > 0, x² + x > 0 va 1 > 0 tengsizliklarni qo’shib, izlanayotgan tengsizlikni olamiz.

Endi -1 < x < 0 bo’lsin. Qism hollarni qaraymiz:

1. 
   x⁵ + x +1 > 0. U holda