Sh. A. Alimov, O. R. Xolmuhamedov, M. A. Mirzaahmedov

f
5)
x^N

10. 
    + -
    

2

6. 
   (10 + jc)(jc —10);
   
7. 
   (100 + x² -20jc)-(50 + 10jc-2jc²);
   
8. 
   (100 + Jc²-20jc) + (50 + 10jc-2jc²).
   

Al-Xorazmiy, Ahmad Farg‘oniy, Beruniy, G‘iyosiddin al-Koshiy asarlarida algebraik simvolika bo‘lmagan. Matematik Abu Hasan Ali ibn Muhammad al-Kalasadiy (XV asr) asarida algebraik simvolika elementlarini uchratish mumkin. Al-Kalasadiy tenglamalarda noma’lumning birinchi darajasini ,,shay“ so‘zining birinchi harfi bilan, kvadratini ,,mol“ so‘zining, kubini ,,ka’b“ so‘zining birinchi harflari bilan belgilagan. Tenglik „=“ belgisi o‘miga ,,adala“ (tenglik) so‘zidagi a harfini ishlatgan. Biz o‘rganayotgan ,,Algebra“ kursining simvolikasi (belgilashlar tizimi) XIV—XVII asrlarda shakllangan.



Aytaylik, a² -б² ifodaning qiymatini a = 573 va 6 = 427 bo‘lganda topish talab qilinayotgan bo‘lsin.
Agar son qiymatlami qo‘yib, h-soblashlami bajarilsa, u holda 573 va 427 sonlarini kvadratga ko‘tarishga, so‘ngra esa ayirishni bajarishga to‘g‘ri keladi.
Agar a² - b² ifodani unga teng bo‘lgan (a + b)(a - b) ifoda bilan almashtirilsa, hisoblashni ancha sodda yo‘l bilan olib borish mumkin.
a = 573 va b = 427 bo‘lganda:
a² - &= (a + b)(a -b) = (573 + 427)(573 - 427) = 1 000 • 146 = 146 000.
Hisoblashlami soddalashtirish uchun a² -№ ko‘phad (a + b)(a - b) ko'paytma bilan almashtirildi.
Ko'phadni ikkita yoki bir nechta ko'phadlar ko'paytmasi shaklida soil ifodalash ko'phadni ко paytuvchilarga ajratish (yoyish) deyiladi.
Bunga o'xshash almashtirish bilan natural sonlami ko‘paytuvchilarga yoyishda (ajratishda) duch kelingan edi. Masalan, murakkab son 60 ni tub sonlaming ushbu ko‘paytmasi shaklida ifodalash mumkin:
60 = 2 • 2 • 3 • 5 = 2² • 3 • 5.
Sonlami ко‘paytuvchilaiga ajratishdan kasrlami qisqartirishda, ulami umumiy maxrajga keltirishda va boshqa masalalami yechishda foydalaniladi. Ko'phadni ko‘paytuvchilarga ajratish algebraik ifodalar ustida amallar bajarishda ham keng qo‘llaniladi.
1-masala. ab+ac-ad ifodaning a = 43, 6=26, c= 17, d= 23 bo‘lganda son qiymatini toping.
A Hisoblashlami quyidagicha olib boramiz:
43 • 26 + 43 • 17 - 43 • 23 = 43 ■ (26 + 17 - 23) = 43 • 20 = 860. ▲
102
Bu yerda ko‘paytirishning taqsimot qonuni qo‘llanilgan: ab + ac-ad = a(b + c - d).
43 • 26 + 43 • 17-43-23 sonli ifodada umumiy ko‘paytuvchi 43 soni bo‘ladi; ab+ac- ad algebraik ifodada esa umumiy ko'paytuvchi a bo'ladi.
Agar ko'phadning barcha (son yoki harfiy) hadlari umumiy ko'paytuvchiga ega bo'lsa, и holda shu ko'paytuvchini qavsdan tashqariga chiqarish mumkin.
Qavs ichida berilgan ko'phadni shu umumiy ko'paytuvchiga bo lish natijasida hosil qilingan ko'phad qoladi.

2. 
   - m a s a 1 a. Ushbu ko'phadni ko‘paytuvchilarga ajrating:
   

6ab + 3b- 12 be.
A Berilgan ko‘phadning barcha hadlari 3b umumiy ko‘paytuvchiga ega, chunki 6ab = 3b ■ 2a, 3b = 3b I, -126c = 3b • (-4c).
Demak, 6ab + 3b- 12be = 3b(2a + 1 - 4c). ▲
Ko‘phadning umumiy hadini masala mazmuniga qarab, qavsdan tashqariga «+» ishorasi bilan ham, «-» ishorasi bilan ham chiqarish mumkin. Misollar keltiramiz:

1. 
   ab- b = b(a- 1) =-6(1 - a)\
   
2. 
   4o²6³ - 6o³6² = 2a²b² (2b-3a) yoki
   

4o²6³ - б^б² =- 2a²b² (-26 + 3a) =- 2a²b¹ (3a - 26).
W Shunday qilib, ko'phadni umumiy ko'paytuvchini qavsdan tashqariga chiqarish yo'li bilan ko'paytuvchilarga ajratish uchun:

1. 
   shu umumiy ko'paytuvchini topish;
   

1. 
   2) uni qavsdan tashqariga chiqraish kerak.
   

Agar ko'phad hadlarining koeffitsiyentlari natural sonlar bo'lsa, u holda umumiy ko'paytuvchini topish uchun ko‘phad hadlari koef- fitsiyentlarining eng katta umumiy bo‘luvchisini topish, bir xil asosli darajalar orasidan esa eng kichik ko‘rsatkichli darajani topish lozim- ligini ta’kidlab o'tamiz. Masalan, 28x²6³ - 21x³6² ko'phadni ko‘pay- tuvchilaiga ajratib, quyidagini hosil qilamiz:
7x²6² (46- 3x).
Bu yerda 7 soni 28 va 21 sonlarining eng katta umumiy bo'luvchisi, x² va б² esa x va 6 ning eng kichik ko'rsatkichli darajalaridir. 103
Ko‘phadni ko'paytuvchilarga ajralganligining to‘g‘riligini hosil bo‘lgan ko‘phadlarni ko‘paytirish yo‘li bilan tekshirish mumkin. Masalan, ko‘paytirishni bajarib, hosil qilamiz:
7x²#(4Z> - 3x) = 28x²# - 2lx³b².
Umumiy ko‘paytuvchi ko‘phad bo‘lishi ham mumkin, masalan:

1. 
   5(a + b) + x(a + b) = (a + b)(5 + x);
   
2. 
   3x(a - 2b) + 5y(a - 2b) + 2(a - 2b) = (a - 2b)(3x + 5>; + 2).
   

Ba’zan umumiy ko'paytuvchini qavsdan tashqariga chiqarishdan oldin a - b =- (b - a) tenglikni qo‘llash foydali bo‘ladi, masalan:

1. 
   (a - 3)x - (3 - a)y = (a - 3)x+(o - 3)>; = (a - 3)(x+j>);
   
2. 
   15a²b(x² -y) - 20ab¹(x¹ - y)+25ab(y -x¹) = 15a²b(x² -y) -
   

• 
  20ab²(x² -y)- 25ab(x² -y) = 5ab(x² -y)(3a - 4b - 5).
  

Mashqlar

328. 
     Sonlami tub ko‘paytuvchilarga ajrating: 70, 121, 240, 168, 225.
     

45 18 75-15 40-14

328. 
     Kasrlarm qisqartinng: —; —; -
     
329. 
     Ko‘paytirishning taqsimot qonunini qo‘llang va hisoblang:
     

1. 
   81-17-15-81; 3) 15-17 + 15-67;
   
2. 
   24 2,78 + 41-2,78; 4) 14j-li-4|-ll.
   

328. 
     Ko'paytmani ko‘phad shaklida yozing:
     

1. 
   (o + 2)(o + 3); 3) 3c³ (2c³ -5);
   
2. 
   2jc(jc-1); 4) (a² +b) (a-b¹).
   

328. 
     A bekatdan В bekatga tomon motorli qayiq 20 km/soat tezlik bilan jo‘nadi. Oradan ikki soat o‘tgandan keyin A dan В ga tomon ikkinchi motorli qayiq 24 km/soat tezlik bilan yo‘lga chiqdi. Ikkala qayiq ham В ga bir vaqtda yetib keldi. A dan В gacha bo‘lgan masofani toping.
     
329. 
     Hisoblang:
     

1. 
   13-512 + 13-488; 3) 25-734-25-726;
   
2. 
   125-375 + 275-375; 4) 26-li-li-23.
   

1Q4 : ³ q#
Umumiy ko'paytuvchini qavsdan tashqariga chiqaring (336—344):

328. 
     1) 2m + 2n; 2) 3a -3.x; 3) 8-4x; 4) 6a+12.
     
329. 
     1) 9a+\2b+3; 3) -10x + 15j>-5z;
     

2.