Сборник задач по общему курсу физики, 1979 М/у Механика №1885, электростатика №1990. Физические основы механики

Уравнение движения релятивистской частицы.
Записывая II закон Ньютона в виде:

и подставляя в него релятивистский импульс, получим уравнение движения релятивистской частицы:
(85)
II закон Ньютона оказывается инвариантным относительно преобразований Лоренца, если под импульсом понимать вектор , равный:

Закон взаимосвязи массы и энергии.
Как известно элементарная работа силы равна приращению кинетической энергии частицы:
(86)
Подставим в (86) из (85):

учтем, что , и



Найдем дифференциал выражения (84):
(88)
И сравним (87) и (88). Из сравнения видно, что:
(89)
Интегрирование этого соотношения в пределах от (если , и кинетическая энергия равна нулю) до дает:
(90)
Преобразуя (19) с учетом (84):
(91)
мы получили выражение для кинетической энергии в СТО.
Из формулы следует, что приращение кинетической энергии частицы сопровождается пропорциональным приращением ее релятивистской массы. Однако при протекании различных процессов в природе одни виды энергии переходят в другие, поэтому естественно ожидать, что маска тела будет возрастать при любом увеличении общего запаса энергии тела независимо от того, за счет какого конкретного вида энергии это увеличение происходит, т.е.:

(94)
где - полная энергия тела.
Т.о., Эйнштейн пришел к фундаментальному выводу:
полная энергия тела и его релятивистская масса всегда пропорциональны друг другу.
Этот закон носит название закона взаимосвязи релятивистской массы и энергии. Он объединяет закон сохранения массы и закон сохранения энергии в единый закон сохранения массы и энергии.
Связь энергии и импульса.
Соотношение возведем в квадрат.
(95)
В числителе прибавим и отнимем :

Или

Отсюда получим:
(96)
или:
(97)
Т.к. , то
(98)
Из формул
и
легко получить еще одно соотношение, связывающее энергию и импульс частицы в релятивистской механике:
(99)