Сборник задач по общему курсу физики, 1979 М/у Механика №1885, электростатика №1990. Физические основы механики

Релятивистский закон сложения скоростей.
Обозначим:
- скорость некоторой т. A в системе отсчета Oxyz;
- скорость той же точки в системе отсчета O’x’y’z’, движущейся вдоль оси x со скоростью .
Как известно,
; ; (70)
и ; ; (71)
Из преобразований Лоренца найдем:
; ; ; ; (72)
Разделив первые три равенства (72) на четвертое и используем (70) и (71):

	(73)		(74)

Легко видеть, что при и релятивистский закон сложения скоростей переходит в классический.


Интервал.
Всякое событие происходит в пространстве и во времени и характеризуется тремя пространственными координатами x,y,z и одной временной координатой t. Поэтому для изучения динамики различных процессов часто пользуются воображаемым четырехмерным пространством, на осях которого откладывают координаты x,y,z и время t (четырехмерный мир Минковского).
Рассмотрим в четырехмерном пространстве два события: первое имеет координаты x₁, y₁, z₁, t₁, второе – x₂, y₂, z₂, t₂. Величину
(75)
называют интервалом между событиями.
Покажем, что интервал между двумя данными событиями одинаков во всех инерциальных системах отсчета. Для этого запишем (75) в двух инерциальных системах отсчета, движущихся относительно друг друга со скоростью , в следующем виде:
(76)
и
(77)
Из преобразований Лоренца следует, что:
; ; ; ; (78)
Подставим (78) а (77)
т.к. ; , рассмотрим разность :

умножим на с²:



откуда следует, что
или (79)
Понятие интервала устанавливает связь между пространственными и временными координатами событий. Как следует из (79), величина интервала не меняется при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Этот вывод вытекает из условия, что скорость света одинакова во всех инерциальных системах. Поэтому (79) представляет собой математическое выражение постулата о постоянстве скорости света.