Samarqand davlat universiteti raqamli texnologiyalar fakulteti amaliy matematika va informatika yo

Kurs ishining tuzilmasining tavsifi: ushbu kurs ishi 26 bet, kirish, reja qismi, xulosa,foydalanilgan adabiyotlardan iborat.

I BOB. MATRITSALAR HAQIDA UMUMIY TUSHUNCHALAR

Sistemalarni modellashtirishda matritsalar algebrasi degan tushuncha muhim ahamiyatga ega. Rejalashtirish muammolari, yalpi mahsulot, jami mehnat sarfi, narxni aniqlash va boshqa masalalar hamda ularda Kompyuterlarni qo‘llash matritsalar algebrasini qarashga olib keladi. Ishlab chiqarishni rejalashtirish, moddiy ishlab chiqarish orasidagi mavjud bog’lanishlarni ifodalashda va boshqalarda, ma`lum darajada tartiblangan axborotlar sistemasiga asoslangan bo‘lishi lozim. Bu tartiblangan axborotlar sistemasi muayyan jadvallar ko‘rinishida ifodalangan bo‘ladi. Misol o‘rnida moddiy ishlab chiqarish tarmoqlari orasidagi o‘zaro bog’liqlik axborotlari sistemasini qaraylik. Ishlab chiqarish 5 ta (masalan, mashinasozlik, elektroenergiya, metal, ko‘mir, rezina ishlab chiqarish sanoatlari) tarmoqdan iborat bo‘lsin. Bunda ular orasidagi o‘zaro bog’liqlik 1-jadval bilan ifodalansin.

1-jadval

Tarmoq- lar	1	2	3	4	5
1	^a11	^a12	^a13	^a14	^a15
2	^a21	^a22	^a23	^a24	^a25
3	^a31	^a32	^a33	^a34	^a35
4	^a41	^a42	^a43	^a44	^a45
5	^a51	^a52	^a53	^a54	^a55

Bu jadvalda a_ij (i, j 1,2,3,4,5) lar bilan, i –tarmoqning j- tarmoqqa yetkazib beradigan (ta`minlaydigan) mahsuloti miqdori belgilangan, chunonchi, ^a21 ^, _a22 , ..., ^a25 lar 2-tarmoqning mos ravishda hamma tarmoqlarga; ^a31 ^{, a}32 ^, ...,
_a35 lar esa 3-tarmoqning mos ravishda hamma tarmoqlarga yetkazib beradigan
mahsulotlari miqdorini bildiradi. o‘z ehtiyojlariga sarfini ifodalaydi. ^a22 ^{, a}33 lar mos ravishda 2,3-tarmoqlarning o‘z ehtiyojlariga sarfini ifodalaydi.
Yuqoridagiga o‘xshash ishlab chiqarish mezoni (normasi) axborotlari sistemasiga sonli misol qaraylik. Korxona 3 turdagi xom ashyo ishlatib 4 xildagi mahsulot ishlab chiqaradigan bo‘lsin, bunda xom ashyo sarfi normasi sistemasi 2- jadval bilan berilgan bo‘lsin.
2-jadval.

Xom ashyolar	Mahsulotlar
	1	2	3	4
1 2 3	2	3	2	0
	4	0	3	5
	3	5	2	4

2-jadvalda masalan, 1-turdagi xom ashyo sarfi normasi mos ravishda 1,2,3,4-xildagi mahsulotlar ishlab chiqarish uchun 2,3,2,0 bo‘ladi.
1 va 2 jadvallar, matematikada o‘rganiladigan matritsalar tushunchasining misollari bo‘la oladi. Matritsalar iqtisodiy izlanishlarda keng qo‘llanilmoqda, Hususan, ulardan foydalanish ishlab chiqarishni rejalashtirishni osonlashtirib, mehnat sarfini kamaytiradi, hamda rejaning har xil variantlarini tuzishni ixchamlashtiradi. Bundan tashqari har xil iqtisodiy ko‘rsatkichlar orasidagi bog’liklikni tekshirishni osonlashtiradi. Bu holatlar matritsalarni umumiy holda qarashga olib keladi.
1- ta`rif. m ta satrli va n ta ustunli to‘g’ri burchakli m *n ta elementdan tuzilgan jadval

m x n o‘lchamli matritsa deyiladi. A matritsani qisqacha (a_ij ) (i = 1,..., m, j = 1,..., n) bilan ham belgilash mumkin. Matritsalarda satrlar soni ustunlar soniga teng bo‘lsa, bunday matritsalar kvadrat matritsa deb ataladi. Har bir n tartibli kvadrat matritsa uchun uning elementlaridan tuzilgan determinantni hisoblash mumkin, aytaylik, biror a, b, c, d sonlar berilgan bo‘lsin. Ushbu

ifoda 2-tartibli determinant, ad-bc ayirma esa uning qiymati deyiladi. det A = 0 bo‘lsa, A matritsaga maxsus matritsa, det A = 0 bo‘lsa, maxsus matritsa deyiladi. Kvadrat matritsaning a₁₁ , a₂₂ ,…, a_{n n}
elementlar joylashgan diagonali bosh diagonal, elementlari joylashgan diagonali yordamchi diagonal deyiladi. Bosh diagonaldagi elementlar 0 dan farqli boshqa barcha elementlari 0 ga teng kvadrat matritsa diagonal matritsa deyiladi.
Masalan,

matritsa diagonal matritsadir. Diagonldagi barcha elementlari 1 ga teng diagonal matritsa birlik matritsa deyiladi va

bilan belgilanadi.

Faqat bitta satrdan iborat matritsaga satr matritsa deyiladi. Faqat bitta ustunga ega

matritsaga ustun matritsa deb ataladi.
Barcha elementlari 0 lardan iborat bo‘lgan matritsaga nol matritsa deyiladi ^{va O bilan belgilanadi. Agar biror noldan farqli} x ^{vektor uchun}
Ax = λ x
^{tenglik bajarilsa, u holda} λ ^{son A kvadrat matritsaning xos soni deyiladi. Bu tenglikni qanoatlantiradigan noldan farqli} x ^{vektor A matritsaning} λ ^{xos soniga} mos keladigan xos vektori deyiladi.
₍₁₎
tenglama A matritsaning xarakteristik tenglamasi deyiladi.
₍₂₎
ko‘phad A matritsaning xos yoki xarakteristik ko‘phadi deyiladi.

1.2 Matrisalarning xos son va xos vektorlarini hisoblash

Agar biror noldan farqli x vektor uchun
(1)
tenglik bajarilsa, u holda son A kvadrat matrisaning xos soni yoki xarakteristik
soni deyiladi. Bu tenglikni qanoatlantiradigan har qanday noldan farqli x vektor A
matrisaning xos soniga mos keladigan xos vektori deyiladi. Ko’rinib turibdiki, agar xos vektor bo’lsa, u holda — ixtiyoriy son) vektor ham xos vektor bo’ladi.Matritsaning xos soni va xos vektori haqidagi ma’lumotlar matematikada va uning boshqa sohalardagi tatbiqlarida ham keng qo’llaniladi. Bu yerda iterasion
prosessning yaqinlashishi va yaqinlashish tezligi V matrisaning moduli bo’yicha eng katta xos sonining miqdoriga bog’liq edi. Astronomiya, mexanika, fizika, ximiyaning qator masalalarida ayrim matrisalarning barcha xos sonlarini va ularga mos keladigan xos vektorlarini toppish talab qilinadi. Bunday masala xos sonlarning to’liq muammosi deyiladi. Ayrim masalalarda esa, masalan, yadro masalasida, matrisaning moduli bo’yicha eng katta yoki eng kichik xos sonini topish talab qilinadi. Tebranuvchi jarayonlarda esa matrisa xos sonlarining modullari bo’yicha ikkita eng kattasini aniqlashga zaruriyat tug’iladi. Matrisalarning bitta yoki bir nechta xos son va xos vektorlarini topish xos sonlarining qismiy muammosi deyiladi. Bir jinsli (1) sistemaning noldan farqli yechimi mavjud bo’lishi uchun
(2)
shart bajarilishi kerak. Bu tenglama odatda A matrisaning asriy (bu termin astronomiyadan kirib qolgan) yoki xarakteristak tenglamasi deyiladi. (2) tenglamannng chap tomoni
(3)
n-darajali ko’phad bo’lib, u A matrisaning xarakteristik ko’phadi deyiladi. Ayrim
hollarda (3) ko’phad o’rnida A matrisaning xos ko’phadi deb ataluvchi
(4)
ko’phad bilan ish ko’riladi. Matrisaning xos sonlari uning xos ko’phadining ildizlari bo’ladi. (4) ko’phad n- darajali bo’lganligi uchun u n ta ildizga ega. A matrisaning xos soniga mos keladigan xos vektorlarini topish uchun
(5)
bir jinsli tenglamalar sistemasning noldan farqli yechimini topish kerak. Shunday
qilib, xos son va xos vektorlarni topish masalasi uch bosqichdan iborat: ning kozffisiyentlarini bevosita hisoblash uchun

ta har xil tartibli determinantlarni hisoblash kerak. Yetarlicha katta n uchun bu masela katta xisoblashlarni talab qiladi.
Viyet teoremasidan foydalgnib, quyidagi tengliklarni yozishimiz mumkin:
,
.
Bu tengliklarni (11.6) tengliklarning birinchisi va (11.7) tekglik bilan solishtirsak
,

Kelib chiqadi.
Shunday qilib, matrisaning barcha xos sonlarining yig’nndisi uning izitrga teng bo’lib, ularning ko’paytmasi shu matrisaning determinantiga teng. Bu yerdan xususiy holda quyidagi kelib chiqadi: A matrisaning hech bo’lmaganda birorta xos soni nolga teng bo’lishi uchun bo’lishi zarur va kifoyadir.
Xos son va xos vektorlarni topish metodlari ikki gruppaga bo’linadi: aniq yoki to’g’ri metodlar va iterasion metodlar. Biriichi gruppaga kiradigan metodlar bo’yicha matrisaning xos ko’phadi topiladi (ya’ni koeffisiyentlar hisoblanadn), keyin uning ildizlarini topib xos sonlarni hosil qilinadi va nihoyat, xos sonlardan foydalanib xos vektorlar quriladi. Bu metodlarning aniq metodlar deyilishiga sabab shundan iboratki, agar matrisa elementlari aniq berilgan bo’lsa va hisoblashlar aniq olib borilsa, natijada xarakteristik ko’phad koeffisiyentlarining qiymatlari ham aniq topiladi va xos vektorlarning komponentlari xos sonlar orqali aniq formulalar bilan ifodalanadi. Aniq metodlar, odatda, xos sonlarning to’liq muammosini yechish uchun qo’llaniladi.
Iterasion metodlarda xarakteristik sonlar xarakteris-tik ko’phad koeffisiyentlarini aniqlamasdan turib, bevosita hisoblanadi. Bu esa hisoblash masa-lasini juda soddalashtiradi: yuqori darajali algebraik tenglamalarni yechishdan ozod qiladi. Iterasion metodlarda xos sonlarni hisoblash bilan bir vaqtda xos vektorlar ham topiladi. Bu metodlarning sxemasi iterasion xarakterga ega. Bu metodlarda xos son va xos vektorlar sonli va vektorlar ketma-ketligining limiti sifatida topiladi.