Samarqand davlat universiteti parabolik tipdagi tenglamali chegaraviy masalalarni sonli

 
1.4. Chegaraviy shartlarni sonli approksimatsiyalash. 
1) 
Birinchi tur chegaraviy shartlar
:
)
(
1
t
a
x
u



va
)
(
1
t
b
x
u



. 
Izlanayotgan funksiyaning chegaradagi qiymatini chegaraviy shartdan oshkor 
ayirmali sxema yordamida quyidagicha topamiz: 
)
(
1
1
1
0



k
k
t
u

; 
)
(
1
1
1



k
k
N
t
u

. 
(1.13) 
2) 
Ikkinchi tur chegaraviy shartlar
:
)
(
2
t
a
x
x
u





va
)
(
2
t
b
x
x
u





Ma’lumki, (1.4) ayirmali sxemaning fazoviy koordinata boʻyicha ap-
proksimatsiyasi tartibi ikkiga teng, u holda chegaraviy shartlarni ham ikkinchi tartibli 
aniqlik bilan approksimatsiya qilish mumkin. Bu quyidagicha bajariladi: 
a) 
0
x
nuqtadagi hosilani ikkinchi tartibli aniqlik bilan quyidagi ap-
proksimatsiyaga almashtiramiz: 
)
(
2
2
1
1
k
k
k
t
h
u
u




yoki
)
(
2
2
1
1
k
k
k
t
h
u
u




. (1.14) 
Bu yerda 
k
u
1

– temperaturaning fiksirlangan 
i
=-1 tugundagi qiymati. 
б) farazlarga koʻra, (1.4) yechim 
i
= 0 tugundagi tenglamani ham tuzib beradi: 




k
k
k
k
k
f
Cu
u
C
Cu
u
0
1
0
1
1
0
2
1








, 
Bu yerda 
2
h
C


.
(1.14) dan foydalanib, bu yerdan 
k
u
1

ni yoʻqotish mumkin: 



k
k
k
k
k
f
t
Ch
Cu
u
C
u
0
2
1
0
1
0
)
(
2
2
)
2
1
(







.
(1.15) 
Bu munosabat ikkinchi tur chegaraviy shartda temperaturaning chap chegara 
(
0
x
nuqta)dagi qiymatini aniqlash imkonini beradi. 
Xuddi shunday, oʻng chegaraviy shart uchun ham (1.4) tenglamani 
N
i

nuqta 
uchun yozib, quyidagi munosabat formulasini chiqarishimiz mumkin: 



k
N
k
k
N
k
N
k
N
f
t
Ch
u
C
Cu
u








)
(
2
)
2
1
(
2
2
1
1
.
(1.16) 
2)
Uchinchi tur chegaraviy shartlar
: 
)
(
3
t
a
x
x
u
u






va
)
(
3
t
b
x
x
u
u






. 
Bu yerda ham xuddi ikkinchi tur chegaraviy shartdagidek, uchunchi tur che-
garaviy shartlarning oʻxshash ayirmali holi quyidagicha yoziladi: 

---

17 
)
(
2
3
0
1
1
k
k
k
k
t
u
h
u
u






; 
).
(
2
3
1
1
k
k
N
k
N
k
N
t
u
h
u
u






(1.17) 
Yuqoridagi (1.4) ning 
i
= 0 va 
i
= 
N
uchun yozilgan holi hamda (1.17) dan 
quyidagilarga ega boʻlamiz: 


;
)
(
2
2
)
1
(
2
1
0
3
1
0
1
0



k
k
k
k
k
f
t
Ch
Cu
u
h
C
u








(1.18) 


.
)
(
2
)
1
(
2
1
2
3
1
1



k
N
k
k
N
k
N
k
N
f
t
Ch
u
h
C
Cu
u









(1.19) 
Bu holda ayirmali sxemaning ustivorlik sharti quyidagicha: 
.
)
1
(
1
1
2
h
C



1.5. Silindrik koordinatalar sistemasida yozilgan tenglama uchun ayirmali 
sxemani qurishning oʻziga xos xususiyatlari. 
Silindrik koordinatalar sistemasida 
quyidagicha yozilgan parabolik tenglamani 
qaraylik: 
 
)
,
(
1
t
r
f
ru
r
u
r
r
t


. 
(1.20) 
Bu tenglamaga mos ayirmali sxemani 
qurish uchun quyidagi shablondan foyda-
lanamiz: 
k
 
k + 
1 
 
i 
– 1
i
i 
+ 1
i - 
0.5
 
i + 
0.5
 
Bu yerda ham, xuddi yuqoridagidek, vaqt va fazo boʻyicha hosilalarni 
quyidagicha ayirmali sxemalarga approksimatsiyalaymiz: 

k
i
k
i
t
u
u
u



1
,
 

r
r
ru
 
 




h
ru
ru
i
r
i
r
5
.
0
5
.
0
=
h
h
u
u
r
h
u
u
r
i
i
i
i
i
i
1
5
.
0
1
5
.
0







.
)
(
2
1
5
.
0
5
.
0
5
.
0
1
5
.
0
h
u
r
u
r
r
u
r
i
i
i
i
i
i
i










Bunda 


i
i
i
r
r
r




1
5
.
0
2
1
. 
Bularga koʻra (1.20) tenglama uchun ayirmali sxema quyidagicha yoziladi: 

k
i
k
i
i
i
k
i
i
i
i
k
i
i
i
k
i
f
u
r
r
C
u
r
r
r
C
u
r
r
C
u



















1
5
.
0
5
.
0
5
.
0
1
5
.
0
1
1
, 
.
1
1



N
i
(1.21) 
Bu yerda ham chegaraviy shartlar xuddi yuqoridagi hollardek, ammo 
r
0
= 0 chap 
chegarada simmetriya sharti oʻrinli ekanligini yoddan chiqarmaslik kerak, ya’ni bun-
da 
0

r
u
simmetriya sharti beriladi. Bu yerda (1.21) tenglamadan 
i
= 0 hol uchun 
foydalanib boʻlmaydi, chunki 
r
= 0 nuqta maxsuslikka ega. Shuning uchun (1.20) 
tenglamani 
)
,
(
1
t
r
f
u
u
r
u
rr
r
t



kabi yozib olib, bu maxsuslikdan qutilish mum-

---

18 
kin. Bunda 
r
→0 da Lopital qoidasidan foydalanib 
r
u
r
1
aniqmaslikni 
r
= 0 nuqta 
uchun ochamiz va quyidagi tenglamaga kelamiz:
).
,
(
2
t
r
f
u
u
rr
t


(1.22) 
Endi (1.22) tenglama va 
0
0


r
r
u
chegaraviy shartning 
i
= 0 nuqta uchun 
ayirmali sxemalarini yozib, izlanayotgan fuksiyaning shu nuqtadagi qiymatini topish-
ning quyidagi ayirmali ifodasini hosil qilamiz:


.
4
1
4
0
1
1
0
k
k
k
u
C
Cu
u




(1.23) 
Bunda ustivorlik sharti quyidagicha: 
4
1

C
. 
1.6. Parabolik tipdagi tenglama uchun oshkor konservativ usullar.

Parabolik tipdagi ushbu 
0
2
2






x
u
a
t
u
 
(
g
– oʻtish koʻpaytuvchishi; 
2
/
x
t
a




) 
tenglama uchun: 

Birinchi tartibli oshkor usul
:
 


n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
u
u
u
x
t
a
u
u
1
1
2
1
2









;
g
=1–4

sin
2
(
k

x
/2). 
Bu ayirmali sxema

t

0,5

x
2
/
a
da ustivor.
 

Krank–Nikolson usuli
:
 




n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
u
u
u
x
t
a
u
u
u
x
t
a
u
u
1
1
2
1
1
1
1
1
2
1
2
2
2
2



















; 
g
=[1–2

sin
2
(
k

x
/2)][ 1+2

sin
2
(
k

x
/2)]. Bu ayirmali sxema doimo ustivor.
 

«Sakrab qadamlash» usuli
:
 


n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
u
u
u
x
t
a
u
u
1
1
2
1
1
2
2










;
g
=–4

sin
2
(
k

x
/2)
)
2
/
(
sin
16
1
4
2
x
k




. 
Bu ayirmali sxema doimo noustivor.
 

Dyufor–Frankelning oshkor usuli
:
 




n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
u
u
u
u
x
t
a
u
u
1
1
1
1
2
1
1
2













;


n
i
n
i
n
i
n
i
u
u
u
u
1
1
1
1
2
1
2
2
1
2
1




















; 


)
(
sin
4
1
)
cos(
2
2
1
1
2
2






k
x
k
g



. Bu ayirmali sxema doimo ustivor.
 

---

19