Samarqand davlat universiteti hisoblash mexanikasining sonli

 
4.4. Giperbolik turdagi bir oʻlchovli tenglamani sonli yechishning har xil 
usullari.
Differensial chegaraviy masala. 
Quyida bir oʻlchovli ikkinchi tartibli giperbolik 
turdagi xususiy hosilali differensial tenglamalarni sonli yechish usullari bilan 
tanishiladi. Buning uchun quyidagi chegaraviy masala (yupqa torning kichik 
tebranishlari haqidagi masala) qaraladi: 
,
0
,
1
0
),
,
(
2
2
2
2
2









t
x
x
t
f
x
u
a
t
u
u
(0,
x
) = 

1
(
x
),
t


u
(0,
x
)= 

2
(x), 0 

x 

1, (4.1) 
u
(
t
,0) = 

1
(
t
),
u
(
t
,1) = 

2
(
t
),
t
> 0. 
Quyidagi holatlar tahlil qilinadi: 
1) (4.1) chegaraviy masalanni yechish uchun ayirmali sxemalarni tuzish uslublari; 
2) boshlangʻich va chegaraviy shartlarni approksimatsiyalash muammolari; 
3) hisoblashlar ketma-ketligi. 
Toʻrli soha. 
Qaralayotgan chegaraviy masala uchun: 
W
h
= [(
t
p
, 
x
m
)],
p
= 0, 1, ..., 
P
,
m
= 0, 1, …, 
M
, 
u
h
= [
u
p
m
],
p
= 0, 1, ..., 
P
,
m
= 0, 1, …, 
M
, 
bu yerda 
u
p
m
– toʻr funksiyasining (
t
p
, 
x
m
) tugunga tegishli komponentasi; 
t
p
 = p

; 

- 
vaqt 
t
boʻyicha qadam,
P

 = T
;
h
– koordinata 
x
boʻyicha qadam,
x
m
 = mh
;
Mh
= 1.

---

73 
Ayirmali masala
(
ayirmali sxema
). Qaralayotgan differensial masala uchun 
qoʻllanilishi mumkin boʻlgan ayirmali sxemalardan biri quyidagicha: 
p
= 1, 2, …, 
P 
– 1;
m
= 1, 2, …, 
M 
– 1; 
m
= 0, 1, …, 
M
; 
p
= 1, 2, …, 
P
; 
Ayirmali sxemaning shabloni.
Qaralayotgan ayirmali sxema uchun 
berilgan 
m
va 
p
larda yechimning qiymatini 
toʻrning toʻrtta nuqtasi boʻyicha bogʻlovchi 
tuzilma qaralayot-gan ayirmali sxemaning 
shabloni deb ataladi (4.5-rasm). 
 
Approksimatsiya xatoligi
(
tafovut
).
 
 
4.5-rasm. Ayirmali sxemasi sha-
bloni.
 
Tafovutning qiymati haqida tasavvurga ega boʻlih uchun dastlab tayanch 
nuqtani berish va bu nuqtaga nisbatan 

 f 
h
(yoki 

 f
m
p
) ifodaganing Teylor qatori-dagi 
yoyilmasiga kiruvchi [
u
(
t
,
x
)] ning qiymatini tasavvur qilish lozim. Masalan, tayanch 
nuqt sifatida (
t
p
, 
x
m
) nuqtani tanlash bilan yuqorida qaralgan ayirmali sxema uchun 
ushbu 
tenglikka ega boʻlamiz. 
Izoh
. Toʻlqin tenglamasi uchun «xoch» («krest») sxemaning approksimatsiya 
tartibi boshlangich shartlarning approksimatsiya tartibi bilan aniqlanadi. Bu sxema 
ichki nuqtalar uchun har ikkala oʻzgaruvchilar boʻyicha ikkinchi tartiblidan kichik 
boʻlishi mumkin. 
Ustivorlikning spektral belgisi. 
Ayirmali sxema ustivorligi toʻgrisida nazariy 
ma’lumotlarni [1,2,5] adabiyotlardan toʻlaroq olish mumkin. 
Birjinsli ayirmali masala uchun yechimni quyidagicha izlaymiz: 
Bu yechimni ayirmali tenglamaga qoʻysak, quyidagiga ega boʻlamiz: 

---

74 
yoki 
Koʻrinib turibdiki, bu kvadrat tenglama ildizlarining koʻpaytmasi 1 ga teng. 
Agar kvadrat tenglamaning ushbu diskriminanti 
manfiy boʻlsa, u holda 
ildizlar oʻzaro qoshma komplek va ularning moduli birga teng. 
Ayirmali sxema ustivor boʻlishi uchun ushbu 

1 tengsizlik bajarilishi zarur, 
ya’ni {

, 
h
} shunday tanlanishi lozimki, quyidagi tengsizlik bajarilsin: 
1
)
/
(
2

h
a

.