Samarqand davlat universiteti hisoblash mexanikasining sonli

Berilgan (4.1) chegaraviy masalani birinchi tartibli ikkita tenglamalar siste-
masi uchun yozilgan masalaga keltirish.
 
Izoh. 
Quyida berilgan chegaraviy masalani sun’iy yoʻl bilan boshqa qulayrok 
masalaga, masalan, akustika tenglamasi uchun qoʻyilgan masalaga olib kelish mum-
kin. Akustika tenglamasi koʻchirish tenglamasi kabi. 
Ushbu (1.1) masala quyidagi masalaga ekvivalent: 
bu yerda birinchi tenglamaning oʻng tarafida turgan funksiya quyidagicha: 
(4.6) 
Buni quyidagicha izohlash mumkin: 
Yangi 
v
(
t
,
x
) funksiyani shunday tanlay-
mizki, uni 
u
(
t
,
x
) funksiya bilan 
v
(0,
x
)=0 shartdan foydalanib, ushbu 
tenglamadan olamiz. U holda toʻlqin tenglamasi quyidagicha yoziladi: 
Oxirgi munosabatni 
t
boʻyicha integrallasak, quyidagini hosil qilamiz: 

---

78 
Integrallahni bajarganimizdan keyin esa 
ya’ni
bu yerda 
Shunday qilib, (1.1) masala (1.6) kabi ikkita birinchi tartibli differensial tengla-
malar sistemasidan iborat masalaga keltirildi. 
Qoʻshimcha izoh: 
(1.6) differensial tenglamalarni quyidagicha yozish mumkin: 
bu yerda 
q = u – v
– Riman invariantlari. 
Bu oxirgi tenglamalarning xususiyati shundaki, har birida alohida bittadan 
funksiya differensiallanmoqda (
q
yoki 
r
). Shuni ta’kidlaymizki, dastlabki (4.6) siste-
mani invariant funksiyalar orqali yozish bu shu sistemaning giperboliklik belgisi. 
Koʻrinib turibdiki, qaralayotgan masala invariantlar uchun yozilgan quyidagi 
masalaga keltirildi: 
(4.7) 
Hosil boʻlgan invariantlar uchun tenglama bizga ma’lum boʻlgan koʻchirish 
tenglamasining oʻzi. Demak, koʻchirish tenglamasiga ham ayirmali sxemalarni 
qoʻllash mumkin. 
Shunday qilib, dastlabki (4.1) masalaning oʻrniga (4.6) masalani yoki invariant-
lar uchun (4.7) masalani yechish mumkin. Oxirgi holda izlanayotgan 
u
funksiya 
q
va 
r
orqali kerakli nuqtalarda u = (q + r)/2 formula bilan hisoblanadi. 
(4.6) masala uchun ayirmali sxema variantlari. 
Izoh.
Ma’lumki, oshkormas sxemalar amaliyotda deyarli doimo ustivor. Ammo, 
(4.6) masalaga nisbatan ularning qoʻllanilishi ma’lum bir qiyinchiliklarni tugʻdiradi, 
chunki vaqtning navbatdagi qatlamida chiziqli tenglamalar sistemasini (umumiyroq 
aytganda, uch diagonalli matritsali sistemani) yechish talab qilinadi. 

---

79 
Taqribiy hisoblashlarni aniqlashtirish uchun aniq chegaraviy masala va uning 
analitik yechimidan foydalanish mumkin. Bunda matematik paketlardan (masalan, 
Mathcad yoki Maple)ga murojaat qilish mumkin boʻladi. 
Masalan, ushbu 
chegaraviy masala uchun aniq analitik yechim quyidagicha: 
Shunday qilib, quyidagi ayirmali sxemalarni approkimatsiyaga va ustivorlikka 
tahlil qilish mumkin ekan: 
1) «Xoch» («krest») sxemaga; 
3) quyidagi shablon bilan oshkormas 
sxemaga 
2) quyidagi shablon bilan oshkormas 
sxemaga 
4) quyidagi shablon bilan oshkor sxe-
maga