Samarqand davlat universiteti hisoblash mexanikasining sonli

 
4.3. Chekli ayirmalar usulining asosiy tushunchalari. 
Chekli ayirmalar usulining asosiy gʻoyasi bu xususiy hosilali differensial 
tenglamani unga mos chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiga aylantirishdan iborat. 
Bu sistemaning yechimi izlanayotgan 
u
(
x
,
y
,
z
,
t
) funksiya uchun taqribiy yechimni be-
radi. 
Bu usulning asosiy bosqichlari quyidagicha: 
1)
Oʻrganilayotgan sohani yoki uning biror elementini qoplovchi toʻrni tuzish. 

---

71 
2)
Hosil qilingan toʻrda dastlabki xususiy hosilali differensial tenglamaga va 
uning qoʻchimcha shartlariga mos chekli-ayirmali approksimatsiya qurish. 
3)
Tuzilgan chekli-ayirmali approksimatsiya asosida chiziqli algebraik tengla-
malar sistemasini tuzish va uni yechish. 
Ushbu bosqichlarni ikki oʻlchovli masala misolida qarab chiqamiz. 
Toʻrni qurish.
Toʻrni tuzish masalaning geometriyasini hisobga olish bilan 
amalga oshiriladi. Tadqiqot sohasi koʻpgina amaliy masalalarda toʻgʻri toʻrtburchak 
shaklida boʻlib, unga mos dekart koordinatalar sistemasini oʻrnatib, unda toʻgʻri 
toʻrtburchakli toʻrni hosil qilishimiz mumkin. Toʻgʻri toʻrtburchakli plastinka misol-
ida qurilgan ana shunday ikki oʻlchovli toʻr 4.2.-rasmda tasvirlangan. 
4.2-rasm. Ikki oʻlchovli toʻgʻri toʻrtburchakli toʻr. 
Chekli ayirmalar usulida boshqa koʻrininshdagi toʻrlar ham ishlatilishi mumkin, 
masalan qiyshiq burchakli, qutb koordinatalari shaklidagi toʻr. Bu qoʻyilgan masa-
laning tadqiqot sohasi qaysi koordinat sistemasiga nisbatan mos kelishiga qarab tan-
lanadi, masalan, bosh oʻqqa nisbatan simmetrik masalada qutb toʻridan foydalaniladi. 
Masala yechimini topish jarayoni toʻrning tugunlariga, ya’ni uning chiziqlari 
kesishish nuqtalariga tayanib olib boriladi. 
Xususiy hosilali differensial tenglamalardagi hosilalarni chekli-ayirmali ap-
proksimatsiyalash bu hosilalarni shu toʻrda uni taqribiy analogiga almashtirishdan 
iborat. Masalan, (
x
i
, 
y
i
) nuqtada ushbu 
xususiy hosilani uning taqribiy boʻlgan va “oʻng hosila” deb ataluvchi quyidagi
oʻng
yoki “chap hosila” deb ataluvchi quyidagi 

---

72 
chap
taqribiy qiymatiga almashtira olamiz, bu yerda 

u
va 

x
– funksiya va argument ort-
tirmasi; 
x
i
, 
u
i
va 
x
i
+1
, 
u
i
+1
– argument va funksiyaning 
i
va 
i
+1 tugunlardagi qiymatlari; 

x
– toʻrning 
x
koordinata boʻyicha qadami. 
Xuddi shunday 
x
koordinata boʻyicha ikkinchi tartibli xususiy hosila 
uchun 
ham mos ushbu 
chekli-ayirmali approksimatsiyani olishimiz mumkin. 
Hosil qilingan ifodalarda hosilaga nisbatan 

u va 

x
larning cheksiz kichik 
emas, balki kichik qiymatlaridan foydalanildi. Shuning uchun ham bu usul 
chekli 
ayirmalar usuli
deb ataladi. Qolgan 
y
, 
z
, 
t
erkli oʻzgaruvchilarga nisbatan hosilalarn-
ing mos chekli ayirmali formulalari chiqarilai.