Samarqand davlat universiteti giperbolik tipdagi tenglamali chegaraviy masalalarni sonli

 

---

5 
1-bob. GIPERBOLIK TIPDAGI BIR OʻLCHOVLI TENGLAMANI SONLI 
YECHISH HAQIDA UMUMIY TUSHUNCHALAR
 
1.1. Xususiy hosilali differensial tenglamalar turlari. 
Ko’pgina fizik jarayonlarda fizik maydonni tahlil qilish xususiy hosilali 
differensial tenglamalarni yechishga olib kelinadi. Amalda bunday masalalarni 
analitik usulda yechishning imkoniyati juda kam. Bu tahlil sohasining 
murakkabligidan va birjinslimaslik xossasidan bog’liq. 
Shunga qaramasdan bunday masalalarni yechishni kompyuter yordamida sonli 
tahlil qilish mumkin. Buning uchun dastlab tadqiqot sohasini ifodalovchi matematik-
fizika tenglamalarning turi aniqlab olinadi. 
Sonli hisob usulini tanlash hisoblanayotgan tenglamalar sistemasi tipidan 
bog‘liq. Ikki o‘lchovli masalalar uchun xususiy hosilali ikkinchi tartibli tenglama 
umumiy holda quyidagicha yoziladi: 
0
2
2
2
2
2


















g
fu
x
u
e
t
u
d
x
u
c
x
t
u
b
t
u
a
, 
bunda 
u
– ixtiyoriy noma’lum funksiya; 
a
dan 
g
gacha barcha koeffitsientlar 
x
(koordinata) va 
t
(vaqt) erkli o‘zgaruvchilarning va, balki, izlanayotgan 
u
funksiya 
va uning birinchi tartibli hosilalari 
)
,
(
t
u
x
u




ning funksiyalari (oxirgi holda 
tenglama nochiziqli yoki kvachiziqli bo‘ladi) yoki o‘zgarmaslar bo‘lishi mumkin.
Chiziqli holatda bu tenglama ushbu 
D=b
2
(
x
,
t
)
–
4
a
(
x
,
t
)
c
(
x
,
t
)
 
diskriminantning ishorasiga qarab giperbolik, parabolik va elliptik tiplarga 
quyidagicha klassifikatsiya qilinadi: 

b
2
–4
ac>0 
–
giperbolik tipdagi tenglama; 

b
2
–
4
ac=0 
– 
parabolik tipdagi tenglama; 

b
2
–
4
ac<0 
–
elliptik tipdagi tenglama. 
Amaliyotda ko‘p qo‘llaniladigan tenglamalarga misollar: 

Ko‘chirish tenglamasi 
x
t
x
u
F
t
u






))
,
,
(
(
giperbolik tipda; 

Muhitning erkin tebranish jarayonini ifodalovchi ushbu
to’lqin tenglamasi giperbolik tipda, bu yerda 
u
(
x
,
y
,
z
,
t
) – to’lgin jarayonini 
ifodalovchi funksiya; 
x
,
y
,
z
– fazoviy koordinatalar; 
c
– shu muhitda to’lqin 
tarqalishi tezligi; 
t
– vaqt. 

---

6 

Puasson tenglamasi 








2
2
2
2
)
,
(
)
,
(
y
y
x
u
x
y
x
u
ellipik tipda; 

Diffuziya tenglamasi 
2
2
)
,
(
x
t
x
u
k
t
u





parabolik tipda. 
Shulardan giperbolik tipdagi tenglamalarga biroz to‘xtalaylik. Giperbolik tipdagi 
tenglamalar chekli tezlik bilan axborotlar tarqaladigan jarayonlarning barchasida 
paydo bo‘ladi, masalan, 

eng sodda giperbolik tipdagi tenglama – bu ko‘chirish tenglamasi 
u
t
+ 
au
x
=0; 

keng tarqalgan giperbolik tipdagi tenglama – bu to‘lqin tenglamasi 
u
tt
= 
c
2

2
u
; 

eng foydali giperbolik tipdagi tenglama 
–
bu qovushoqmas Byurgers 
tenglamasi (Xopf tenglamasi)
u
t
+ 
uu
x
= 0. 
Giperbolik tipdagi tenglamalarga yana boshqa misollar: 

Eylerning nostatsionar tenglamalari; 

tovushdan tez oqim uchun Eylerning statsionar tenglamalari; 

sayoz suvlar tenglamasi; 

ideal magnit gidrodinamikasi tenglamasi; 

elastiklik nazariyasi tenglamasi; 

plastinka va qobiqlarning harakat tenglamalari.