Russian Mathematics Education

On the Teaching of GeometryGeometry in Russia

105

competitions (“Geometry 7–9” and “Geometry 10–11”). Second

place in the competition “Geometry 7–9” was won by Pogorelov’s

textbook, while in the competition “Geometry 10–11” Pogorelov’s

textbook shared second and third place with the manuscript presented

by the Kiev authors G. P. Bevz, V. G. Bevz, and N. G. Vladimirova. The

manuscript of the textbook “Geometry 7–9” by Alexandrov, Werner,

and Ryzhik came in third, and their “Geometry 10–11” fourth. Below,

we describe these textbooks’ approaches in greater detail.

5.3.1

A. V. Pogorelov’s geometry textbook

Long before the nationwide competition, A. V. Pogorelov, an academi-

cian and well-known geometer, published a book in elementary geom-

etry (1974), which became the foundation for his school textbook.

Therefore, we will begin with his textbook (Pogorelov’s textbook was

reissued many times; see, for example, Pogorelov, 2004a, 2004b.)

The competition committee characterized his work as follows: “The

manuscripts of the textbooks are characterized by a high level of rigor

in the presentation of the theoretical material, brevity and precision of

language, and the use of an axiomatic foundation in the construction

of the course” (Konkurs, 1988, p. 49).

What Kolmogorov had been preparing to do (but did not do),

Pogorelov did: at the very beginning of the course, he named the

basic geometric figures — point and straight line — and presented

a complete system of axioms for this course, which he described as

the fundamental properties of the basic geometric figures. After this,

precisely and methodically, Pogorelov presented definitions and proved

subsequent propositions. The course is unified, self-contained, and

similar to a course in the foundations of geometry.

Pogorelov’s geometry textbook is structured as an outline. It

is divided into sections which are broken down into clauses. The

theoretical text in each section is followed first by test questions and

then by problems. People who worked with Pogorelov told the authors

of this chapter that he always strove to shorten the text of his textbook

and would repeat: “If you see that a sentence can be crossed out, then

cross it out!” Pogorelov assumed that teachers by themselves would

---

March 9, 2011

15:1

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch03

106

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

add the necessary words in class, in accordance with their pedagogical

approach.

The hand of an outstanding geometer can be seen in many of

the proofs and in how the presentation of the topics is structured.

Nonetheless, as the textbook was put into use, critical observations

arose. Let us return, for example, to the theorem about the intersection

of the diagonals of a parallelogram, discussed above. Kiselev’s tacit

introduction of a point O at the intersection of the diagonals was

unacceptable for Pogorelov’s course, which was far more rigorous than

Kiselev’s: indeed, it does not follow from anything that a parallelo-

gram’s diagonals intersect at all. Kolmogorov’s proof, examined above,

showed this, but it relied on transformations, which was unacceptable

for Pogorelov’s course. The way out of this predicament was found,

first, by proving on the basis of the congruence of the triangles (which

was once again referred to as “equality”) that if the diagonals of a

quadrilateral intersect and their point of intersection divides them in

half, then this quadrilateral is a parallelogram. As for the theorem that

the diagonals of a parallelogram intersect and are divided in half by

their point of intersection, it was proven as follows (Fig. 2):

In the parallelogram