Russian Mathematics Education

5

Toward a History of the Course in Geometry

in Russia (USSR)

Below, we will briefly describe the changes that the school course in

geometry underwent over the past half-century, without attempting

to provide a detailed account of the entire contents of the course

(apart from differences that will be specifically mentioned, the course

in geometry during the period in question has always been quite similar

to the course that exists today, as described above).

5.1

From Kiselev to Kolmogorov

Until the mid-1970s, the teaching of geometry in Russian schools was

largely based on the textbooks of Andrey Kiselev (1852–1940). The

first edition of Kiselev’s Elementary Geometry came out in 1892 (seven

years before Hilbert’s Foundations of Geometry!), with the following

notice on its title page: “For secondary educational institutions”

(i.e. for gymnasia and real schools). Before the Revolution, the

book gradually conquered the market. Rejected along with the entire

old school system during the first post-Revolution years, it made a

---

March 9, 2011

15:1

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch03

96

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

triumphant comeback in schools during the 1930s (in a somewhat

revised version) to become the only geometry textbook used in the

Soviet Union. Kiselev’s textbook was reprinted even after it ceased to

be a recommended school textbook (Kiselev and Rybkin, 1995) and it

would be no mistake to say that, to this day, it has been considered by

many to be the embodiment of the “good old days,” when everything

in the schools was supposedly fine.

Kiselev’s textbook achieved its popularity for a reason. Written with

a knowledge of foreign (above all, French) publications, it grew out

of practical teaching experience — first and foremost the experience

of Kiselev himself, who spent many years working in secondary

educational institutions. Later, I. K. Andronov wrote that Kiselev

“knew his strengths and did not undertake to do more than he could

do” (Karp, 2002, p. 9). The textbook was rigorous and formally

deductive in character, but only to the degree that was accessible to

the students of Kiselev’s time.

For example, in the first sections on plane geometry, Kiselev freely

made use of visual arguments, and his proofs were also formulated

using “physical” language; thus, he would refer to figures being

superimposed on each other and so on. There is a story dating back to

the years after the Second World War (Boltyansky and Yaglom, 1965)

about a schoolboy taught, naturally, using Kiselev’s textbook — who

failed to solve a problem during a mathematics Olympiad because, as

he himself wrote, he was unable to prove that a straight line cannot

intersect all three sides of a triangle at interior points. The fact that

this eighth grader thought about such questions attests, of course, to

his exceptional giftedness: questions of this kind, which are certainly

quite appropriate for a course in the foundations of geometry, were

never raised in Kiselev’s textbook at all. What Kiselev proved, generally

speaking, was what an ordinary student at a gymnasium or a real school

would have found natural to prove.

Kiselev’s textbook was comprehensive and logical. Gaps in logic

could be found in it, but they were not noticeable to secondary school

students (and usually neither to their teachers). The textbook included

topics of a general logical nature as well, acquainting students with

the notion of the direct theorem, the converse, and the contrapositive.

---

March 9, 2011

15:1

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch03

On the Teaching of GeometryGeometry in Russia

97

The course was well structured, and most of the sections into which

the textbook was divided could be easily covered in one lesson.

One clearly identifiable strand in Kiselev’s course pertains to the

geometry of constructions. Solving a construction problem involves

analyzing the conditions of the problem, and it is during this step

that the problem’s solution is planned; working out a construction

(i.e. creating an algorithm); proving that the figure constructed is in

fact the one asked for; and, finally, investigating what kind of data are

required to solve the problem and how many solutions the problem

has. Kiselev’s course in plane geometry contains practically no strand

that pertains to the geometry of computations, but for many years N. A.

Rybkin’s problem book was used in schools as a supplement to Kiselev’s

textbook, successfully complementing it.

It must be said, finally, that the dozens of editions that Kiselev’s

textbook went through permitted its author to continue improving

both its scientific and its methodological side.

When Kiselev’s textbook first arrived in Soviet schools, it was

assumed that it would soon be replaced by a new Soviet textbook,

which would take modern trends into account. This, however, did not

happen at that time. Over the years that followed, the textbook was

increasingly criticized and the need to replace it gradually came to be

recognized. Among the criticisms directed against it, the following may

be singled out:

• Kiselev’s geometry textbooks contained very difficult sections

(above all, the chapter on “Similarity”), which, with the introduc-

tion of mandatory universal eight-year education (a goal set in the

USSR at the end of the 1950s), were beyond the powers of most

students.

• Kiselev’s course was completely cut off from reality, from practical

applications of geometry, which clashed with the policy of the

“polytechnization” of education that was being implemented in

the Soviet Union during those years. Moreover, it contained no

interdisciplinary connections with other school subjects.

• Kiselev’s course failed to address many ideas and methods of

contemporary, mid-20th-century geometry. It made no mention

---

March 9, 2011

15:1

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch03

98

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

of vectors or coordinates; it made almost no mention of transfor-

mations. The use of the limit was the only idea that it borrowed

from contemporary mathematics.

• The division of the five-year course in geometry into a three-

year course in plane geometry and a two-year course in three-

dimensional geometry produced the result that, over the three years

of studying only plane figures, most students lost their notions of

spatial figures, and to revive these at the beginning of the course

in three-dimensional geometry would be very difficult. Those

students who did not complete a full secondary school course

were exposed to no three-dimensional geometric concepts in their

geometry course at all.

• Finally, Kiselev’s textbook failed to meet several purely curricular

needs. For example, in those years, the previously existing separate

course in trigonometry was abolished in the USSR, and trigonom-

etry had to be represented more fully in geometry textbooks than

it was in Kiselev’s textbook.

In 1956, Kiselev’s plane geometry textbook was replaced with a

textbook by N. N. Nikitin and A. I. Fetisov, which was then itself

almost immediately replaced with Nikitin’s (1961) textbook Geometry

6–8. This textbook, which was very similar to Kiselev’s, contained

a number of important changes. In particular, the measurement of

segments, one of the most difficult topics in Kiselev’s textbooks, was

substantially simplified — Nikitin presented this topic on a purely visual

and intuitive level. The topic “Area” was covered by Kiselev at the

end of the course; in Nikitin’s textbook, it was shifted to the middle.

Finally, in addition to providing a systematic course in plane geometry,

Nikitin’s textbook presented information, on a visual–intuitive level,

about the most important three-dimensional geometric objects —

prisms, cylinders, pyramids, cones, spheres — and about the volumes

and areas of the surfaces of geometric objects. As a program of study

for ordinary, eight-year schools, the course in geometry was now well-

rounded and complete. This fact had social significance.

Nikitin’s textbook was actively criticized. Kolmogorov (1966)

published a long article detailing its shortcomings in the journal

Matematika v shkole. Perhaps it would have been possible to eliminate

---

March 9, 2011

15:1

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch03

On the Teaching of GeometryGeometry in Russia

99

these shortcomings in subsequent editions, but it was assumed that

there would be only one textbook in the country. In the meantime,

textbooks prepared under Kolmogorov’s supervision began to appear,

and replaced both Nikitin’s plane geometry and Kiselev’s three-

dimensional geometry textbooks.