Russian Mathematics Education

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

passage from the Standards quoted above). As A. D. Alexandrov

wrote:

The distinctive feature of geometry, which distinguishes it from

other branches of mathematics and from all sciences in general,

consists precisely in the indissoluble organic conjunction of lively

imagination and rigorous logic. Geometry in its essence is spatial

imagination, permeated and organized by rigorous logic. In any

genuinely geometric sentence, be it an axiom, a theorem, or a

definition, these two elements of geometry are inseparably present:

the visual picture and the rigorous formulation, the rigorous logical

deduction. Where either of these sides is absent, there is no genuine

geometry. (Alexandrov, Werner, Ryzhik, 1981, p. 6)

The student is in a sense invited to retrace the footsteps of the

ancients, who were able to pass from observation to interpretation

and abstraction. This experience of systematic mathematical modeling

also renders geometry particularly important in the eyes of Russian

mathematics educators.

Visual ideas, even visual ideas that are not subsequently proven,

are naturally very valuable. A. N. Kolmogorov, perhaps the greatest

Russian mathematician of the 20th century, criticized the then-

standard textbook by N. N. Nikitin (1961) as follows:

[The textbook] does not sufficiently distinguish between the two

levels at which the material is presented: the logical-deductive level

and the visual-descriptive level. The combination of these two levels

in textbooks for grades 6–8 seems to me unavoidable. In my opinion,

the body of geometric facts with which students become acquainted

purely through description might be somewhat expanded.

And he went on:

But this must not obscure the notion of geometry as a deductive

science in the minds of the students. This notion must already become

quite clear to them as a result of their study of geometry in grades 6–8.

This duality of the school course in geometry must be understandable

to the students themselves. They must always know what they are

proving and on the basis of which assumptions, what they are simply

told on faith, and which conclusions they themselves reach on the

---

March 9, 2011

15:1

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch03

On the Teaching of GeometryGeometry in Russia

89

basis of visual arguments without a clear proof. (Kolmogorov, 1966,

p. 26)

Alexandrov saw the opportunity frankly to indicate about virtually

all propositions examined in school geometry, whether they were

accepted as unproven or rigorously grounded, as well as the oppor-

tunity for all students to establish the truth for themselves, without

trusting to the authority of a teacher or a textbook — as the enormous

potential benefit that geometry had to offer for developing students’

minds and worldviews. (Indeed, it is impossible to deny that in other

school subjects students must constantly or at least very often trust cited

facts, while in geometry classes they become convinced of everything

or almost everything on their own.) As Alexandrov (1980) wrote:

The deep objective of the course in geometry consists of the assimi-

lation of the scientific worldview, of the formation of its foundations.

It is shaped by an unequivocal respect for established truth, the need

to prove that which is put forward as truth, the refusal to substitute

faith or references to authoritative sources for proof. The striving for

truth, the search for a proof (or a refutation) — this is the active,

and therefore the dominant, aspect of the foundation of the scientific

worldview ….

The respect for truth and the demand for proofs convey an

extremely important ethical message. In its simplest but very impor-

tant form, it consists of the imperative not to judge without proving,

not to succumb to impressions, moods, and slander where it is neces-

sary to get to the bottom of the facts. Scientific commitment to truth

consists precisely of the striving to justify one’s convictions about

any issue with observations and conclusions that are as objective,

as unsusceptible to subjective influences and passions, as is humanly

possible. (p. 60)

Below, we will focus on differences between conceptions of the role

of geometry and approaches to its teaching; here, we have addressed

that side of geometry about which there may be said to be a consensus.

Naturally, such complex issues as “the scientific worldview” are almost

never mentioned in geometry classes. What an ordinary lesson looks

like to working teachers may be imagined, for example, by looking

at the methodological recommendations put forward by Glazkov,

---

March 9, 2011

15:1

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch03

90