Russian Mathematics Education

The Problem Book in Mathematics for College Applicants, edited by M. I.

Skanavi (1988), we can form an idea about the demands that such

exams placed on the students. Here, for example, is the first problem

from Section A (the easiest of three) in three-dimensional geometry:

The base of a pyramid is a right triangle with a hypotenuse c and

an acute angle of 30

◦

. The pyramid’s side edges are inclined toward

the plane of its base at a 45

◦

angle. Find the volume of the pyramid

(p. 191)

The problems given in entrance exams could (and even should) be

criticized for their artificiality or uniformly computational character,

but it is evident that exam requirements (and entrance exams to

technical colleges have usually included problems in both plane and

three-dimensional geometry) have exerted a considerable influence

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on the attitude toward geometry in schools. College requirements

have supplemented and developed the requirements of the Ministry of

Education and have been to a sufficiently large degree independent of

the latter. The replacement of entrance exams with a uniform state exam

means that this independence is coming to an end and that uniformity

is being established, the likes of which were not seen even in the days

of the Soviet Union.

It should be pointed out here that already in the 1960s it was

officially recognized that students differed from one another with

respect to their mathematical aptitude and interest in the subject, and

schools with an advanced course of study in mathematics appeared

in the USSR. Geometry, along with other mathematical subjects, was

taught in these schools in an expanded and deeper fashion. In the

early 1990s, on the other hand, various kinds of schools with advanced

courses in the humanities began to appear, in which students were

given an abridged course in mathematics (including geometry). In

this chapter, we have no room to discuss the distinctive characteristics

of the courses in geometry that we have just mentioned — neither

the advanced course nor the abridged one — and our attention will

be focused on “ordinary” schools. Nonetheless, the appearance of

“not ordinary” schools and classes had an impact on the ordinary

course in mathematics. More difficult problems or additional sections,

tested out in classes with an advanced course in mathematics, not

infrequently found their way into ordinary textbooks as well, even if

an asterisk was placed next to them to suggest that they were optional.

On the other hand, illustrations or stories that initially appeared in

mathematics textbooks for schools with an advanced course of study

in the humanities would subsequently migrate to ordinary textbooks

without any difficulty at all; showing students something beautiful or

entertaining turned out to be natural not only with students who were

uninterested in the subject, but with students in general.

Finally, let us mention what is perhaps the most important fact of all.

The preparation of mathematics teachers includes serious preparation

in geometry over many years. Future teachers come to pedagogical

colleges from schools where they studied practically the same deductive

course in geometry that they would have to teach. At their pedagogical

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On the Teaching of GeometryGeometry in Russia

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colleges, they become acquainted with the foundations of geometry,

higher-dimensional Euclidean geometry, non-Euclidean geometry,

and differential geometry. In addition, they are usually offered various

courses in solving “school problems,” i.e. problems in elementary

plane and three-dimensional geometry. It is naive, of course, to equate

the number of courses that students have taken with their actual

knowledge, yet it is important to note that considerable time is devoted

to geometry in the college program as well. Once again, it must be

recalled that at a certain stage, for economic reasons, Russian schools

were flooded with out-of-work engineers, whose higher education

contained much fewer courses in geometry. We have already pointed

out that the system of professional development has been significantly

weakened in recent years. Nonetheless, there are still many teachers

in Russian schools who are sufficiently well-prepared to carry out

instruction in a substantive course in geometry.