Russian Mathematics Education

5.2

Kolmogorov’s Textbooks for Basic Schools

A general description of the Kolmogorov reforms is given in another

chapter of this two-volume set (Abramov, 2010). Kolmogorov himself

and the subject committee of which he was the chair devoted great

attention to the teaching of geometry. Criticizing existing programs for

being outdated, Kolmogorov emphasized that this was especially true

of geometry (Kolmogorov, 1967). He envisioned the restructuring of

the course in geometry as follows:

The basic objectives of restructuring the school course in geometry,

which have now won the widest acceptance, may be formulated in

terms of three propositions:

1. The formation of elementary geometric concepts should take place

in the first years of school.

2. The logical structure of the systematic course in geometry in the

middle grades should be substantially simplified by comparison

with the Euclidean tradition. At this stage, students should

become habituated to rigorous logical proofs while the right to

accept a redundant system of assumptions without proof should

also be openly recognized.

3. The course in geometry in the higher grades should be founded

on vectorial concepts. In this respect, it would also be natural to

rely on the coordinate method (but only in an auxiliary fashion,

so that the presentation does not become less “geometric” as

a result of the reliance on this approach). (Kolmogorov, 1967,

p. 11)

Some of these assertions may give rise to objections (for example,

it is by no means an established fact that the vector-based approach to

geometry instruction is simpler or in any way superior to the traditional

approach). What is important, however, is that Kolmogorov envisioned

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the creation of the new textbook as an open process that would rely —

just as the creation of Kiselev’s textbook had relied — on international

findings. Kolmogorov wrote:

In order to make it possible to work calmly and confidently on

new geometry textbooks, preliminary work must be carried out at

once: one or several working groups of scholars and teachers, using

foreign findings, must put together and publish the outline (or several

outlines) of a “logical skeleton” of a school course in geometry (the

basic assumptions and the basic sequence of theorems with proofs)

in a form that will be open to criticism and experimental use by

sufficiently experienced teachers. (Kolmogorov, 1967, p. 13)

Unfortunately, this was not done.

An idea of some of the aims set by Kolmogorov during the writing of

the textbook (which he himself oversaw) is conveyed by the following

statement made by him:

We have decided to retain separate geometry textbooks for grades

6–10. By comparison with a system of unified textbooks in mathe-

matics, which is the norm in many countries, the existence of a

separate geometry textbook has some advantages, but only if the logic

of the construction of the geometry course is rigorously coordinated

with the courses in algebra and elementary analysis. (Kolmogorov,

1971, p. 17)

It was expected that such rigorous coordination could be achieved, in

part, by organizing the presentation of the material around geometric

transformations.

The new course in geometry was structured on the basis of set

theory. This led to the appearance in schools of the term “congruence,”

which became perhaps the most frequently mentioned example of the

difficulty of Kolmogorov’s course — prior to it, as well as afterward,

people spoke about the “equality” of figures. Since in Kolmogorov’s

course figures were seen as sets of points, and a set was “equal”

only to itself, it was impossible, in the opinion of Kolmogorov and

his coauthors, to talk about “equal triangles,” as had been done

before (Kolmogorov et al., 1979). Triangles that could be superim-

posed through a geometric transformation that preserved distances

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