Russian Mathematics Education

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

triangles, and of much else, are what they are in Kiselev and even what

they are in Euclid. The theorem about the intersection point of two

diagonals, which we examined above as an example, was once again

reunited with its old proof from Kiselev’s textbook, which relied on

the congruence of triangles and never raised the question of whether

the diagonals intersected at all. All of this was known and familiar to

teachers, to students, and to students’ parents.

Certain innovations appeared in the discussion of similarity. Kiselev,

following French models (Barbin, 2009), had departed from the

Euclidean principle of using areas to prove theorems about relations

between the lengths of segments. As a consequence, the theorems on

which the basic propositions about similar triangles relied turned out

to be very difficult: Pogorelov had made one such theorem a required

part of his course (in his formulation, it read as follows: the cosine of

an angle depends only on the angle’s degree measure), but in practice

it turned out that students did not understand it. The textbook of

Atanasyan et al. (just like the textbook of Alexandrov and his coauthors,

which will be discussed below) returns to the spirit, if not the letter,

of Euclid’s approach, using areas to prove theorems about similarity.

This noticeably simplified the course, not to mention the fact that

introducing the concept of area early on made discussions of many

geometric ideas and problems more accessible earlier than they had

been previously.

The chapters devoted to post-Euclidean geometry are arguably

more open to criticism. For example, according to what we have

observed, the concluding chapter of the course in plane geometry,

“Rigid Motion,” is almost never studied in school in practice (the

key section concerning the relationship between the concept of rigid

motion, introduced in this chapter, and the concept of congruence,

examined earlier, is marked with an asterisk, which denotes that

material in the section is optional). Moreover, the idea of discussing

transformations of the plane after all else in the course has been covered

might itself give rise to objections.

On the other hand, the range of problems offered in the textbook

of Atanasyan and his coauthors is rich and convenient for teachers.

These problems, along with good methodological supporting materials

---

March 9, 2011

15:1

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch03

On the Teaching of GeometryGeometry in Russia

109

(teachers’ manuals), appear to have been one of the most important

reasons for the success of this textbook. Every section is accompanied

by problems. Often, two similar problems are given in a row: one

of them is solved by the teacher in class, and the other is assigned

as homework. Each chapter also contains additional problems, and

at the end of each class there is a set of more difficult problems.

Questions for review follow each chapter. In addition to problems,

practical assignments accompany some sections, when appropriate.

Answers to problems and hints for some solutions appear at the end of

the textbook.

5.3.3

The textbooks of A. D. Alexandrov

and his coauthors

The manuscript of the geometry textbook for grades 7–9 by A. D.

Alexandrov and his coauthors was characterized by the nationwide

competition committee as follows: “It is distinguished by its untradi-

tional treatment of a number of topics, by the liveliness and readability

of its language, by the overall orientation of its exercises toward

students’ development” (Konkurs, 1988, p. 49).

Indeed, if the traditional view was that a geometry textbook should

be laconic and dry, then the authors of this textbook (Alexandrov et al.,

1983, 1992, 1992, 2006), and above all Alexandrov himself, strove to

speak to the teacher and the students in a completely different language,

not only explaining various propositions to them but also discussing

their content and meaning. Below, for example, is a brief excerpt from

the section of the textbook in which Alexandrov explains the meaning

of the Pythagorean theorem:

The Pythagorean theorem is also remarkable because in itself it is

not at all obvious. If you look closely, for example, at an isosceles

triangle with an added median, then you will be able to see directly

all of the properties that are formulated in the theorem that deals

with it. But no matter how long you look at a right triangle, you will

never see that its sides stand in this simple relation to one another: