Russian Mathematics Education

a − (b + c) = a − b − c. On this basis, the textbook introduces the

concept of equal literal expressions and the concept of the transfor-

mation of an expression, which is treated as a replacement of one

expression by another that is equal to it. Further, students learn about

certain basic transformations of expressions, such as combining like

terms, removing parentheses, and simplifying products. In contrast to

the previous series of textbooks, here students learn these concepts for

the first time; therefore, the presentation includes deductive arguments,

which lead to the formulation of a system of rules.

---

March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch04

150

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

Subsequently, all of the textbooks proceed to a systematically

structured study of rational expressions. Polynomials and operations

involving polynomials are examined. Students learn that the sum,

difference, and product of polynomials can always be transformed into

a polynomial (division of polynomials is a topic that belongs to a later

stage). Specific attention is devoted to polynomials with one variable

(the concept of the root of a polynomial is introduced, and a number

of questions connected with polynomials of the type ax

2

+ bx + c are

examined). The students study techniques for factoring polynomials,

factoring out common factors, and grouping, using the formulas

a

2

± 2ab + b

2

= (a ± b)

2

, a

2

− b

2

= (a − b)(a + b), and a

3

± b

3

=

(a ± b)(a

2

∓ ab + b

2

). They are then introduced to the concept of alge-

braic fractions and examine operations involving algebraic fractions —

addition, subtraction, multiplication, and division.

The body of information acquired by the students makes it possible

to introduce the concept of integral expressions and fractional expres-

sions, and to pose a question about the possibility of transforming

them, respectively, into polynomials and algebraic fractions. The

introduction of integral and fractional expressions is accompanied by a

discussion on the domain of a rational expression. Quite subtle aspects

of this topic are touched on; in particular, it is elucidated that in the

transformation of a fractional expression the domain might change

(become larger).

Additionally, in connection with transformations of expressions,

students study square roots and transformations of numeric expressions

containing radicals.

As they assimilate algorithms for transforming expressions, the

students are given problems in which these algorithms may be applied.

In particular, the transformations studied are always used to solve

equations. For example, when they are acquiring the skill of multiplying

a monomial by a polynomial, the students solve the following type

of equations: 2(x + 5) − 3(x − 2) = 10. When studying how to

factor polynomials, they examine equations that can be solved by

relying on the fact that a product equals zero: (x + 3)(5x − 4) = 0,

3(x − 2) + (x

2

− 4) = 0. Identity transformations are used in the course

to simplify computations, solve divisibility problems, prove identities,

---

March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch04