Russian Mathematics Education

a

b

=

ac

bc

(a, b, and c are

positive integers). Let us prove that this equality holds not only for

positive integers but also for any other values of a, b, and c, except

b = 0 and c = 0.

Let

a

b

= m. Then it follows from the definition of a quotient that

a = bm. Let us multiply both sides of this equality by c: ac = (bm)c.

Hence ac = (bc)m. Since bc = 0, it follows from the definition of a

quotient that

ac

bc

= m. Therefore,

a

b

=

ac

bc

. (Makarychev et al., 2009b,

pp. 7–8).

The series of textbooks by Dorofeev et al. takes a different

approach to the “rigor” of the exposition. Keeping in mind the

significance of mathematics in basic school as a subject aimed first and

foremost at general education, the authors, in deciding the question

of whether to include this or that proof in a textbook, consider

---

March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch04

164

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

whether it is methodologically indispensable. They deem it necessary

to distinguish mathematics itself and the standards of rigor that are

accepted in it from the teaching of mathematics and, consequently,

the standards of rigor that are appropriate to it. In particular, they

carefully take into consideration the age-dependent characteristics of

the students, only gradually cultivating their ability to see the necessity

of and feel a need for proofs. In keeping with this approach, their

textbooks contain all kinds of possible proofs that are accessible to the

students’ understanding, and whose indispensability the students can

appreciate. In the process, the students are introduced to some of the

ideas of algebraic proofs — sequences of transformations, algebraic

deduction, obtaining a formula by solving a problem in general form,

and so on. There are many such proofs in the textbook. In addition, the

students learn to prove in the process of solving problems. In presenting

the topic of literal numeration, the authors take the following method-

ological position: the properties of arithmetic operations become the

rules of algebra (in essence, axioms, whose number the authors do not

attempt to minimize). These are used as a basis on which to formulate

rules for transformations that are obvious to the students. This position

is initially seen in the seventh-grade course. The same principle of “from

numbers to letters” remains in force later on, in the presentation of

algebraic fractions. Below, we quote a passage from the textbook by

Dorofeev, Suvorova et al. (2009a), which corresponds to the passage

from the other textbook quoted above:

The rules for operating with algebraic fractions derive from the

rules for operating with ordinary fractions that are known to us

from arithmetic. In algebra, these rules become laws that govern the

transformations of algebraic fractions. You know the basic property

of ordinary fractions, according to which multiplying or dividing

the numerator and denominator of a fraction by the same nonzero

number yields a fraction that is equal to the given fraction. For

example,

13

17

=

13

·4

17

·4

. Algebraic fractions possess a similar property:

if the numerator and the denominator of an algebraic fraction are

multiplied or divided by the same nonzero polynomial, then the

fraction obtained will be equal to the one given. Using letters, this

---

March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch04