Russian Mathematics Education

xy + x = 4.

Strong students are introduced to certain special techniques for

solving systems. Let us consider how a teacher using the textbook

by Dorofeev, Suvorova et al. (2009b) can use the same system,



x

2

+ y

2

= 10

xy = −3

, to demonstrate various techniques for solving it.

Students who use this textbook first solve the given system by

employing the method of substitution (in other words, from the

second equation they obtain an expression that, for example, denotes

the unknown y in terms of the unknown x, and then substitute this

expression, y = −

3

x

, in the first equation, which now becomes easy to

solve). After several classes, the students may be introduced to other

ways of solving this system. The main idea of each of them consists

in the fact that the given system can be reduced to several simpler

systems.

First method. Let us multiply both sides of the second equation

of the system by 2 and add it to the first equation. We obtain the

equation x

2

+ y

2

+ 2xy = 4, i.e. (x + y)

2

= 4. Together with the

second equation, it forms the system



(x + y)

2

= 4

xy = −3

.

The equality (x + y)

2

= 4 means that x + y = 2 or x + y = −2.

---

March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch04

On Algebra Education in Russian Schools

157

Thus, the system “breaks down” into two simpler ones:



x + y = 2,

xy = −3;



x + y = −2,

xy = −3.

The solution to the first system consists of the pairs (

−1, 3) and

(3,

−1); the solution to the second consists of the pairs (1, −3) and

(

−3, 1). Each of these pairs satisfies the original system, and it has no

other solutions. Thus, the original system has four solutions: (

−1, 3),

(3,

−1), (1, −3), (−3, 1). In this way, the equations that must be

solved are noticeably simpler than the one examined at the beginning.

A graphic illustration helps to better understand the substan-

tive side of the solutions just given. Figure 2 represents a circle

and a hyperbola — the graphs of the equations in the system



x

2

+ y

2

= 10

xy = −3

. They intersect at four points.

Figure 3 illustrates, within the same system of coordinates, the

graphic solutions to the systems



x + y = 2

xy = −3

and



x + y = −2

xy = −3

.

Each line intersects the hyperbola xy = −3 at two points, and we

have four points of intersection in all. These are the same points that

were formed by the intersections of the hyperbola and the circle.

Fig. 2.

---

March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch04

158