Russian Mathematics Education

x − 3

+

6

(x − 3)(x − 4)

=

x

x − 4

.

---

March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch04

On Algebra Education in Russian Schools

155

In solving such equations, the students for the first time encounter

a technique that does not guarantee identity of a transformation.

Therefore, a necessary part of this technique is the verification of the

obtained solutions.

Another topic of study in this algebraic part of the course is systems

of equations with two variables. Students are introduced to the concept

of the equation with two variables and its graph. They then go on

to develop skills that are associated mainly with the linear equation

ax + by = c. Systems containing two equations with two variables

are solved. The main stress falls on systems of two linear equations,

as well as on systems in which one of the equations is a second-

degree equation. The students learn techniques for solving systems of

equations such as substitution and addition. In more difficult problems,

they also investigate more complex systems, whose solutions require

the use of certain additional techniques. The presentation of this

whole topic is usually permeated with references to graphic illustrations

and interpretations: graphs are used for solving systems (in cases

where the students lack an appropriate algebraic apparatus for solving

them), for determining the number of solutions, and for conducting

investigations. In this way, graphs are used to determine how many

solutions a system of two linear equations with two variables has.

Examples of typical problems that are solved in class are:

1. Find the coordinates of the points in which the line 2x + 3y = 4

intersects the coordinate axes, and graph this line.

2. Using the diagram (Fig. 1), write down the system of equations

whose solution consists of the following pair of numbers:

(a) (0,

−4); (b) (4, 1); (c) (−4, 0); (d) (1, 4).

3. Solve the system of equations



4x − 3y = −16

6x + 5y = 14

.

4. Determine the coordinates of the points of intersection:

(a) of the lines 8x + y = 27 and 5x − y = 25;

(b) of the line y = 2x + 4 and the parabola y = x

2

− 3x − 10.

5. Using graphs, determine how many solutions the following

system of equations has:



x

2

+ y

2

= 9

xy = 4

.

6. Solve the following system of equations:



2x + y = 1

x

2

+ xy = −6

.

---

March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch04

156

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

Fig. 1.

7. Solve the following system of equations:

(a)



1

x

+

1

y

=

1

2

,

x + y = 9

;

(b)



xy − y = 1,