Russian Mathematics Education

a

√

b

for a = 0.64 and b = 0.09.

3. Given the expressions (1)

a+3

a

, (2)

a

a+3

, and (3)

a+

3

a

3

, which of

them are not defined for a = 0?

(1) Only 1

(2) Only 3

(3) 1 and 3

(4) 1, 2, and 3

4. For which of the following values of x is the expression

√

12

+ 3x

not defined?

(1) x = 0 (2) x = −6 (3) x = −1 (4) x = −4

5. The distance in meters to the epicenter of a storm can be

computed approximately by using the formula s = 330t, where

---

March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch04

On Algebra Education in Russian Schools

167

t is the number of seconds that have passed between a stroke

of lightning and a clap of thunder. Determine the approximate

distance of an observer from the epicenter of the storm if t = 12.

Give the answer in kilometers, rounding it off to an integer.

6. A car uses a L of gasoline to drive 100 km. How many liters of

gasoline will be needed to drive 37 km?

(1)

a·37

100

L

(2)

100

·37

a

L

(3)

a·100

37

L

(4)

a

37

·100

L

7. The area of a circle with diameter d is computed using the

formula S =

πd

2

4

. Use this formula to define diameter d.

(1) d =

4S

π

(2) d =

4S

π

(3) d =

πs

4

(4) d =

π

4S

8. For each expression in the top row, indicate the expression in the

bottom row that is equal to it.

(A) a

−8

· a

2

(B)

a

−8

a

2

(C) (a

−8

)

2

(1) a

−16

(2) a

−10

(3) a

−6

(4) a

−4

9. Express the value of the expression (6 · 10

−3

)

2

in the form of a

decimal fraction.

10. In which case is the expression transformed into an equal

expression?

(1) 3(x − y) = 3x − y (3) (x − y)

2

= x

2

− y

2

(2) (3 + x)(x − 3) = 9 − x

2

(4) (x + 3)

2

= x

2

+ 6x + 9

11. Simplify the expression 6x + 3(x − 1)

2

.

(1) 3x

2

+ 3 (3) 9x

2

− 6x + 9

(2) 3x

2

+ 1 (4) 3x

2

+ 6a − 3

12. Reduce the fraction

ab

2

−2ab

2ab

.

(1) ab

2

(2)

b−2

2

(3) b

2

− a (4) b − 1

13. Indicate the expression that is identical to the fraction

a−c

b−c

.

(1)

c−a

b−c

(2)

a−c

c−b

(3)

c−a

c−b

(4)

−

c−a

c−b

14. Simplify the expression

2m−4m

2

m+1

÷

2m

2

m+1

.

15. Find the value of the expression 2

√

13

·

√

2

· 5

√

26

.

As experience shows, students are relatively good at finding values

of expressions with variables when the value of the variable is given,

---

March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch04

168

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

at formulating a literal expression based on the conditions given in a

problem, and at expressing one quantity in a formula in terms of others.

The most difficult types of problems in this set are problems that test

students’ grasp of the concept of the domain of a rational expression

and problems that involve operations with algebraic fractions (even

though the demands made on the students are quite modest, as can be

seen from the problems reproduced above).

For “Equations and System of Equations,” exams may include

problems aimed at testing students’ command of basic concepts, terms,

and formulas, as well as their ability to:

• Solve linear and quadratic equations, as well as equations that

can be reduced to linear and quadratic equations, by means of

simple transformations; solve integral equations by relying on the

fact that a product is equal to zero; solve simple linear-fractional

equations;

• Carry out elementary investigations of quadratic equations (to

establish whether an equation has roots, and if so, how many);

• Know and understand the following terms: “equation with two

variables,” “solving equations with two variables,” and “the

graph of an equation with two variables”; understand the graphic

interpretation of an equation with two variables, and of a system

of equations with two variables;

• Solve systems of two linear equations with two variables and

simple systems of two equations of which one is quadratic;

• Formulate an equation with one variable or a system of equations

with two variables based on the conditions given in a word

problem.

Examples of possible problems are given below (pp. 49–54):

1. Solve the equation 3

− 2x = 6 − 4(x + 2).

2. Solve the equation

x

2

− 3 =

x

5

.

3. Find the roots of the equation 3x

2

+ x = 0.

4. Indicate how many roots each equation has:

(A) (x+1)

2

= 0 (B) x

2

+1 = 0 (C) x

2

+x = 0 (D) x

2

−x = 0

(1) One root

(2) Two roots

(3) No roots

5. Which of the following equations has irrational roots?

---

March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch04

On Algebra Education in Russian Schools

169

Fig. 5.

(1) x

2

− 3x − 4 = 0 (3) x

2

− 4x + 5 = 0

(2) x

2

− 4x − 3 = 0 (4) x

2

− 4x + 4 = 0

6. Find the roots of the equation (2x − 5)(2 + x) = 0.

7. Figure 5 shows the graph of the function y = 2x

2

+ 3x − 2.

Determine the x coordinate of the point A.

8. Solutions to the system of equations



x + y = 2

xy = −15

are:

(1) (5,

−3), (−5, 3) (3) (5, −3), (−3, 5)

(2) (

−5, 7), (3, −1) (4) (−5, 7), (5, −7)

9. In which quadrant of the coordinate plane does the point of

intersection of the lines 2x − 3y = 1 and 3x + y = 7 lie?

(1) I

(2) II

(3) III

(4) IV

10. In the coordinate plane (Fig. 6) points P and Q are marked and

a line is drawn through them. Which equation defines this line?

(1) x + y = 16 (2) x + y = 26 (3) x − y = 4 (4) x − y = 5

Fig. 6.

---

March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch04

170

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

11. Read the following problem:

The distance between two marinas is 17 km. A boat sailed from

one marina to the other and back in 6 h. Find the boat’s own

speed if the speed of the river’s current is 2 km/h.

Use the letter x to designate the boat’s own speed (in km/h)

and formulate an equation based on the conditions given in the

problem. Which of the following is the right answer?

(1)

17

x+2

+

17

x−2

= 6 (3)

17

x+2

=

17

x−2

− 6

(2)

x+2

17

+

x−2

17

= 6 (4) 17(x + 2) + 17(x − 2) = 6

Experience shows that students on the whole are good at solving

linear and quadratic equations. However, the number of correct

answers goes down if an equation has fractional coefficients (for

example,

1

3

x

2

+x−6 = 0). In general, whenever in any context students

must work with fractions, they begin having difficulties. Many students

have difficulty solving a basic, standard problem that is present in all

textbooks: compute the coordinates of the point of intersection of two

straight lines by solving a system of two linear equations with two

variables. The greatest difficulty for students then arises when they

must formulate an equation based on the conditions given in a word

problem.

We will now illustrate the requirements that must be met by the

algebraic preparation of students at the advanced level.

For “Algebraic Expressions,” exams may include problems aimed

at testing students’ command of the following skills (Kuznetsova et al.,

2009, p. 72):

• Factoring polynomials using different methods;

• Carrying out many-step transformations of rational expressions

using a wide array of studied algorithms;

• Carrying out transformations of expressions that contain powers

with integer exponents, and square roots;

• Carrying out transformations to solve various mathematical

problems (such as problems on finding maxima and minima).

Examples of possible problems are (the solutions to all of these

problems must be written out, and their precision and completeness

---

March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch04

On Algebra Education in Russian Schools

171

have a substantial influence on the grade):

1. Factor the polynomial c

2

a − a − c

2

+ 1.

2. Reduce the fraction

4a

2

−9a+2

1

−4a+x−4ax

.

3. Simplify the expression

b−3

b

2

−2b−3

−

b

b

2

+2b+1



÷

1

(5b+5)

2

.

4. Show that for any value of n the expression

5

n+1

+5

n−1

2

·5

n

has the same

value.

5. Find the value of the expression

(2

√

7

− 5)

2

+

(2

√

7

− 6)

2

.

6. For what values of the variable does the following expression is

not defined? 1

−

1

1

−

a

1

− 1

a+1

7. Prove the following identity:

(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 1 = (x

2

+ 5x + 5)

2

.

8. Prove that there are no values of a and b for which the value of the

expression 5a

2

+3b

2

+20a−12b+34 is equal to zero. (pp. 72–73)

For “Equations and Systems of Equations,” the exam may include

problems aimed at testing students’ command of the following skills:

• Solving integral and fractional equations with one variable by

means of algebraic transformations and such techniques as fac-

torization and variable substitution;

• Solving systems of linear equations and systems containing non-

linear equations by means of substitution and addition; also using

certain special techniques;

• Carrying out investigations of equations and systems of equations

containing letter coefficients, in particular by relying on graphic

representations;

• Solving word problems, including working with models in which

the number of variables is greater than the number of equations.

Examples of problems are given below (again, all of them require

full written solutions).

1. Find the roots of the following equation: 2x

4

− 17x

2

− 9 = 0.

2. Solve the following equation:

x

3x+2

+

5

3x−2

=

3x

2

+6x

4

−9x

2

.

3. Solve the following equation: (x

2

− 3x − 1)

2

+ 2x(x − 3) = 1.

---

March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch04

172

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

4. Solve the following system of equations:



2(x − y) − 3(x + y) = 2x − 6y

x+y

2

−

x−y

5

=

2x

5

− 2

.

5. Solve the following system of equations:



3(x + y) + xy = −14

x + y − xy = 6

.

6. Solve the following system of equations:







2x − 3y = −7

4x + 5y = 14

x

2

+ y

2

= 10

.

7. Given the system of equations



x

3

−

z

4

+

y

12

= 1

y

5

+

x

10

+

z

3

= 1

, find the sum

x + y + z.

8. Find all negative values of m for which the system of equations



x

2

+ y

2

= m

2

x + y = 1

has no solutions.

Solve the following problems (9–11):

9. Three candidates were running for the position of team captain:

Nikolayev, Okunev, and Petrov. Petrov got three times as many

votes as Nikolayev, while Okunev got two times fewer votes than

Nikolayev and Petrov combined. What percentage of the votes

was cast for the winner?

10. A student was planning to live for a certain number of days on

600 rubles. During each of the first three days, he spent the sum

he had planned on spending each day; then he increased his daily

expenditures by 20 rubles. As a result, by two days before the

end of the period he had already spent 580 rubles. How much

money had the student planned on spending each day?

11. By mixing one salt solution, whose concentration is 40%, with

another solution of the same salt, whose concentration is 48%,

we obtain a solution with a concentration of 42%. In what pro-

portions were the first and second solutions mixed? (pp. 75–77)