Russian Mathematics Education

x −

1

4

x



.

Simplify the expression

13

15

m −

3

4

m +

1

12

m and find its value

when m = 2

1

2

; 6

1

4

.

Solve the equation

7

12

m +

2

3

m −

1

4

m = 7. (p. 89)

---

March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch04

142

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

Arithmetic

Algebra

Divide:

3

5

÷

9

25

; 3

7

39

÷ 1

5

31

.

(p. 98)

Represent the following quotient in

the form of a fraction:

m

n

÷

a

k

; b ÷

c

n

.

(p. 98)

Solve the equation (a) y ÷ 1

1

2

= 2

1

3

·

1

3

;

(b) 3

1

2

2

3

x +

4

7



= 2

1

3

. (p. 100)

II. Decimal fractions

Find the value of the

expression

102,816 ÷ (3.2 · 6.3) + 3.84.

(p. 67).

Simplify the expression

3.7x + 2.5y + 1.6x + 4.8y. (p. 76)

Solve the equation

9.5x − (3.2x + 18x) + 3.75 = 6.9.

(p. 78)

Compute

0.2 · 6.2 ÷ 0.31 −

5

6

· 0.3

2

+ 1

4

11

· 0.22 ÷ 0.01

. (p. 112)

Find the value of the expression

(a)

2x

y

−

x

2y

when x = 18.1 − 10.7,

y = 35 − 23.8;

(b)

a

5.7 − 4.5

+

a

2.8 + 4.4

when

a = 2

1

7

+ 1

4

5

. (p. 112)

III. Ratios and proportions

Find the ratio of 0.25 to

0.55. (p. 118)

The length of a rectangle is a cm and

its width is b cm. The length of

another rectangle is m cm and its

width is n cm. Find the ratio of the

area of the first rectangle to the area of

the second rectangle. Find the value

of the obtained expression if a = 6.4,

b = 0.2, m = 3.2, n = 0.5. (p. 123)

IV. Positive and negative numbers

Perform the following

operations:

−6 · 4 − 64 ÷ (−3.3 + 1.7).

(p. 198)

Find the value of the expression

(3m + 6m) ÷ 9, if m = −5.96.

Solve the equation

−

4

7

y =

8

21

. (p. 198)

---

March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch04

On Algebra Education in Russian Schools

143

Arrange the terms in a

convenient order and find

the value of the expression

−6.37 + 2.4 − 3.2 +

6.37 − 2.4. (p. 208)

Simplify the expression

6.1 − k + 2.8 + p − 8.8 + k − p.

(p. 208)

Remove the parentheses

and find the value of the

expression

−6.9 − (4.21 − 10.9).

(p. 216)

Simplify the expression

−a − (m − a + p);

m − (a + m) − (k + a). (p. 217)

Write down the difference of the two

expressions

−p − a and k − a, and

simplify it. (p. 217)

Solve the equation

7.2 − (6.2 − x) = 2.2. (p. 217)

The solutions to the equations reproduced in this table are based

on arithmetic techniques: students solve them by relying on facts

about dependencies between the components of operations, which are

expressed in rules for finding unknown terms, minuends, divisors, and

so on. At the same time, these types of equations have a fairly high level

of difficulty.

Note that the subject of equations involves not only using algo-

rithms, but also using the algebraic method to solve word problems.

Students solve a considerable number of word problems by forming

equations. The problems’ algebraic component is developed in parallel

with the formation of students’ operational abilities and is connected

with the content of arithmetic problems. We will illustrate this by

providing examples of problems solved by sixth graders:

(1) In order to make sour cherry jam, one must combine two parts

cherries with three parts sugar (in mass). How many kilograms of

sugar and how many kilograms of cherries must be used in order

to obtain 10 kg of jam if its mass is reduced by 1.5 times during

cooking?

[Equation: 3x + 2x = 10 · 1.5, where x is the mass of one part

in kilograms.

]

---

March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch04

144

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

(2) Three boxes contained 76 kg of sour cherries. The second box had

twice as many sour cherries as the first, while the third contained

8 kg more sour cherries than the first. How many kilograms of

sour cherries were in each box?

[Equation: x + 2x + (x + 8) = 76, where x is the mass of sour

cherries in the first box, in kilograms.

]

(3) The arithmetic mean of four numbers is 2.75. Find these numbers

if the second is 1.5 times greater than the first, the third is 1.2 times

greater than the first, and the fourth is 1.8 times greater than the

first.

[Equation: (x + 1.5x + 1.2x + 1.8x) ÷ 4 = 2.75, where x is

the first number.

]

(4) A father is 3

1

3

times older than his son, while the son is 28 years

younger than his father. How old is the father and how old is the

son?



Equation

: 3

1

3

x − x = 28, where x is the son’s age.



This organic integration of arithmetic and algebra concludes with

a certain systematization of the algebraic material: an examination of

strictly algebraic questions — removing parentheses, the coefficient,

like terms, and solving equations. The solving of equations is now

grounded in the use of rules for equivalent transformations of equations

(the word “equivalence” — which in Russian textbooks is reserved

for logical equivalence only — is, of course, not used at this stage).

Here, the students deal with formal algebra, and the level of the

transformations presented to them is quite high.

In this way, these textbooks achieve rather close integration of

arithmetic and algebraic material. However, teaching experience points

to a number of negative consequences arising from such early and

insistent “algebraization.” First, this approach to some extent hinders

the formation and development of practically oriented arithmetic skills,

such as the use of percentages in real-life situations. While students

formally assimilate the central topics of arithmetic — fractions and

decimals — their computational skills suffer. A considerable percentage

---

March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch04

On Algebra Education in Russian Schools

145

of students is unable to compare fractions or put them in ascending

order, to shift from one form of fractional notation to another. This

is revealed by both national and international studies. Thus, many

students have difficulty with the following types of problems:

• Which of the following numbers is the smallest:

1

6

,

2

3

,

1

3

,

1

2

.

• Which of the following numbers is contained between the

numbers 0.07 and 0.08? 0.0075, 0.6, 0.075, 0.75.

• Find the ratio of the numbers 0.5 and 0.3.

Setting the formation of formal-operational skills pertaining to the

transformation of literal expressions as a central objective, the authors

rise to a sufficiently high level of such transformations, exceeding

the capacities of a considerable number of 12-year-old children.

Schoolchildren are not always able to handle much easier problems

than those which they solve in class (see the table above). For example:

• Solve the equation

1

2

x = 6.

• Which of the following expressions is equal to the sum

a + a + a + a?

(1) a + 4, (2) a

4

, (3) 4a, (4) 4(a + 1).

As a consequence, the textbooks of the following stage (Makarychev

et al., 2009a, 2009b, 2009c) do not begin at the level set by the

textbooks of Vilenkin et al. In terms of the transformations of algebraic

equations that the students are asked to carry out and the equations

that they are asked to solve, the first classes in algebra at the following

stage of education (grade 7) do not constitute a natural continuation

of what has come before; in these classes, everything begins anew.

The key feature of the second set of textbooks for this stage of

schooling (Dorofeev, Sharygin et al., 2007a, 2007b) stems from the

emphasis that they place on the arithmetic and algebraic components

of the course: the balance in them has shifted in favor of the former.

A greater role is now played by arithmetic, the study of number

systems, computational algorithms; most importantly, the course relies

extensively on using arithmetic methods to solve word problems, which

is seen as an effective way to facilitate the students’ logical development.

At the same time, the approach to presenting algebraic material is

fundamentally altered as well. The quantity of formal “algebraic” work

is substantially reduced; the very purpose of studying this material is

---

March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch04

146