Russian Mathematics Education

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

different. One might say that at the center of attention is the role of

letters as elements of mathematical language. First of all, the letter

acts as the “name” of any number in some set. This is underscored

in formulations that use quantifying phrases such as “for any. . .” and

“for all. . ..” Consider the following example of a text that is read by

students in fifth grade:

You know the commutative property of addition: when the places of

terms are switched, the sum does not change. In accordance with this

property, for example,

280

+ 361 = 361 + 280, 0 + 127 = 127 + 0.

Using letters, the commutative property can be written in the

following way:

For any numbers a and b, a + b = b + a.

This literal equality, which expresses a general property of the

addition of numbers, has replaced for us an infinite number of number

equalities (Dorofeev, Sharygin et al., 2007a, p. 82).

Similar arguments are presented in introducing literal notation for

the commutative property of multiplication, the associative property

of addition and multiplication, and so on.

The letter may also act as a proper noun. For example, π is a quite

definite number, about which the students so far know only that it is

a number of a new kind, which is neither an integer nor a fraction,

and that it may be expressed approximately in decimals. Special letters

are “assigned” to the sets of natural numbers, integers, and rational

numbers — N, Z, and Q, respectively.

Students learn the rules for writing literal expressions, in particular

the role of parentheses as a “grouping” sign. Classroom activity is

mainly aimed at getting the students to learn and grasp the significance

of and reasons for introducing letters, and to practice “translating”

from Russian into mathematical language. Several examples:

1. Write in the form of a mathematical sentence:

(a) the number k is less than 5; (b) the absolute value of the number

m is greater than 1; (c) the square of the number a is equal to 4.

(Dorofeev, Sharygin et al., 2007b, p. 244)

---

March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch04

On Algebra Education in Russian Schools

147

2. The following examples illustrate a certain rule. Formulate this

rule and write it down using letters:

(a) 7

· 0 = 0, 15.3 · 0 = 0,

2

5

· 0 = 0;

(b) 4

+ (−4) = 0; 0.3 + (−0.3) = 0;

1

3

+



−

1

3



= 0. (Dorofeev,

Sharygin et al., 2007b, p. 245)

3. In order to write “long” expressions, mathematicians often use

an ellipsis. For example, the expression 1

· 2 · 3 · . . . · 50 means

the product of all natural numbers from 1 to 50. Write down the

following in the form of a mathematical expression:

(a) the product of all natural numbers from 1 to 100;

(b) the product of all natural numbers from 1 to n;

(c) the sum of all natural numbers from 1 to 100;

(d) the sum of all natural numbers from 1 to n. (Dorofeev,

Sharygin et al., 2007b, p. 245)

4. Write down the following problem in the form of an equation and

solve it:

Tanya thought of a number, multiplied it by 15, and sub-

tracted the result from 80. She obtained 20. What number did

Tanya originally think of? (Dorofeev, Sharygin et al., 2007b,

p. 259)

Algebraic “technique” — the transformation of literal expres-

sions — belongs to the next educational stage and begins to be

studied systematically in grade 7. But at the stage of grades 5–6, the

study of number systems and computational algorithms is organized

in such a way as to create a substantive foundation for the study of

algebraic transformations in the future: students learn the properties

of arithmetic operations as an apparatus for the transformations of

numeric expressions. Thus, in the fifth-grade course, students examine

the possibility of using the rules of addition and multiplication in

order to substitute numeric expressions with simpler expressions whose

value may even be found mentally. The problems presented to the

children are simple and understandable; the work they do is substantive,

motivated, and easy to appreciate. At the same time, the students

perform quite serious manipulations with numeric expressions: they

write down numeric sequences, group terms and factors in a convenient

---

March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch04

148