Russian Mathematics Education

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

Fig. 3.

Second method. Let us transform the second equation of the system

into the form 2xy = −6 and into the form −2xy = 6, and then let us

add the first equation of the system x

2

+ y

2

= 10 first to the equation

2xy = −6, and then to the equation −2xy = 6. We will obtain the

system



x

2

+ y

2

+ 2xy = 10 − 6

x

2

+ y

2

− 2xy = 10 + 6

,

i.e.



(x + y)

2

= 4

(x − y)

2

= 16

.

From the first equation we obtain x + y = 2 or x + y = −2.

From the second equation we obtain x − y = 4 or x − y = −4.

Examining each of the equations in the first row together with

each equation in the second row, we arrive at four systems of linear

equations:



x + y = 2,

x − y = 4;



x + y = 2,

x − y = −4;



x + y = −2,

x − y = 4;



x + y = −2,

x − y = −4.

Solving each of them, we obtain four pairs of numbers:

(3, −1), (−1, 3), (1, −3), (−3, 1).

This solution is illustrated graphically in Fig. 4. Now we have four

lines. The two pairs of lines intersect at the same points that were

formed by the intersection of the circle and the hyperbola.

---

March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch04

On Algebra Education in Russian Schools

159

Fig. 4.

Let us thus emphasize one more time that, although in this chapter

we are focusing on purely algebraic material, in fact, in the process

of teaching, connections with both graphic (analytic) and geometric

concepts, ideas, and methods are established whenever possible. In

this respect, let us point out another area that is touched on in the

section on “Systems of Equations”: solving problems with a geometric

content by using an algebraic apparatus. In essence, these problems

belong to analytic geometry.

It must be noted that the issue of including analytic geometry in

school education has been discussed in Russia for nearly an entire

century. Although scientists and methodologists have long recognized

the importance and significance, as well as the fundamental accessibility,

of this material, its actual inclusion in programs for general education

was hindered by a variety of circumstances. Problems connected with

this topic first appeared in textbooks during the 1970s, a period of

reforms in mathematics education, specifically in the textbooks of

Makarychev et al. In the textbooks of Dorofeev et al., this idea was

developed and presented more clearly. Consider the following examples

---

March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch04

160

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

of problems that students were given (Dorofeev, Suvorova et al.,

2009a, 2009b):

• Write the equation for the line that passes through the points A

(

−1, 2) and B (3, 4).

• Write the equation for the line that is: (a) parallel to the line